Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

604 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
der Klasse C', welche den m Differentialgleichungen1)
q (x, y (x), ' (x)) =0
genügt, und für welche das Wertsystem
X3, y1(X3),.. yn(x3), (x) (2)
ganz im Innern des Bereiches; von ~ 69 liegt. Wie sich aus den
Existenztheoremen über Differentialgleichungen ergibt, ist dies stets
möglich, und wir können die Werte
yL (X3),..., ynn (X3)
beliebig vorschreiben, vorausgesetzt, daß für das Wertsystem (2)
mindestens eine Determinante mten Grades der Matrix
[ a 1pl|i, 2,...,n,
| =1,2,..., m, (3)
von Null verschieden ist.
Es sei jetzt P4 derjenige Punkt von K, dessen Abszisse den
Wert x = x3- E hat, unter E eine kleine positive Größe verstanden.
Dann können wir stets, und zwar für beliebige, hinreichend kleine
Werte von 8, eine Kurve
Yi =- YE)
von den erforderlichen Stetigkeitseigenschaften konstruieren, welche
durch P, und P4 geht:
yi(xo, 8) = y,(xo), 1i(X4, 8) = i(X4), (4)
sich für = 0 auf eo reduziert:
0i,(x, 0)=.i(J),
und den m Differentialgleichungen
g (x, y(x, E), y' (x, E)) = 0
genügt.
Zum Beweis dieser Behauptung verfahren wir ganz ähnlich wie in ~ 69, a).
Wir wählen (n (- m) Funktionen 2) rlk+r(x) von der Klasse C", welche sämtlich
in xo verschwinden, sonst aber willkürlich sind, und setzen
Ym+r(X, 11 * * En) Y= +r() + k2*(m +r (X)
k
Alsdann können wir nach ~ 24, e) m Funktionen
y =-= Ya (x, a,..., * )
1) Wir benutzen dieselben abkürzenden Bezeichnungen wie in ~~ 68 und 72.
2) Wegen der Bedeutung der Indizes vgl. die Verabredung im Eingang
von ~ 68.