Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Zwölftes Kapitel.
Weitere notwendige, sowie hinreichende Bedingungen beim
Lagrange'schen Problem.
~ 74. Analoga der Bedingungen von Weierstraß und Legendre.
In diesem Kapitel sollen zunächst die den Bedingungen von
LEGENDRE, JACOBI und WEIERSTRASS entsprechenden Bedingungen
(II), (III), (IV) für das Lagrange'sche Problem aufgestellt werden.
Wir werden diese Bedingungen zuerst ohne Benutzung der zweiten
Variation ableiten, indem wir mit der Weierstraß'schen Bedingung
beginnen und daraus die Bedingung (II) herleiten (~ 74), während
sich die Bedingung (III) aus einer Verallgemeinerung des Enveloppensatzes ergeben wird (~ 75). Alsdann werden wir, wenn auch nur
kurz, auf die Theorie der zweiten Variation eingehen, teils ihres
großen historischen Interesses wegen, teils weil dieselbe, wie sich
herausstellen wird, zur Vervollständigung der vorangegangenen Theorie
der konjugierten Punkte unentbehrlich ist (~ 76).
Den Abschluß des Kapitels bildet dann die Aufstellung hinreichender Bedingungen auf Grund des allgemeinen Hilbert'schen
Unabhängigkeitssatzes (~ 77) und die Theorie der Mayer'schen Extremalenscharen (~ 78).
Wir beschränken uns dabei durchweg auf den Fall des "FunÄktionenproblems" mit festen Endpunkten bei welchem sämtliche Nebenbedingungen Differentialgleichungen sind.1)
Ferner machen wir über die Extremale @o dieselben Voraussetzungen A), B), C) wie in ~ 72, b), fügen denselben aber noch eine
weitere Voraussetzung D) hinzu:
1) Der einzige Fall, welcher außerdem bisher vollständig durchgeführt
worden ist, ist das räumliche Variationsproblem ohne Nebenbedingungen,
welches kürzlich MASON und BLISS eingehend behandelt haben, und zwar in
Parameterdarstellung bei festen und bei variabeln Endpunkten, Transactions
of the American Mathematical Society, Bd. IX (1908), p. 440; vgl. auch
die Dissertation von NADESCHDA GERNET (Göttingen 1902), die dasselbe Problem
mit x als unabhängiger Variabeln bei festen Endpunkten behandelt.