Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 72. Existenztheoreme für Extremalen. 591
liegt ganz im Innern des Bereiches %;, in welchem die Funktionen f
und Ap von der Klasse C"' vorausgesetzt sind (~~ 68, 69).
C) Es ist
R(x, y(x), y' (x), (x)) + 0 in [x x2],
unter R die durch (113) definierte Determinante verstanden, die sich
auch als Funktionaldeterminante schreiben läßt:
R(x, y, y' ^ - ) 13,a)
wenn wir, wie schon früher,
-F a ~>F aF
P- = F -Fn = F (120)
setzen.
Die Annahmen A), B), C) drücken aus, daß die Lösung (119)
in der Terminologie von PAINLEVE-1) im Intervall [x1 x2] regulär" sein
soll. Daraus folgt nach ~ 23, d), daß diese Lösung sich auf ein ganz
bestimmtes Maximalintervall (ihr "Regularitätsintervall") ), das wir mit
x < < x* (121)
bezeichnen, ausdehnen läßt. Die Extremale 0o samt ihrer Fortsetzung
auf dieses Intervall bezeichnen wir mit (.o
Weiter zeigt man wie in ~ 24, c), daß infolge der Annahmen A),
B), C) im Intervall (121) die Funktionen y,(x) von der Klasse C'",
die Funktionen Al (x) von der Klasse C" sind.
Wir adjungieren nun der Lösung (119) die n Funktionen
v, (x)= F. +,(x, y(x), y' (x), (x)), (122)
die nach den gemachten Voraussetzungen in [xlx2] von der Klasse C'
sind. Alsdann lassen sich die n + m Gleichungen
Fn+-i (x, y, y', A)= -i, Ps (x, y, ) = 0, (123)
in welchen die Größen vi neue Variable bedeuten, auf Grund des erweiterten Satzes2) über implizite Funktionen von ~ 22, e) in der Umgebung der Punktmenge
e: xi < < x yi(x), y- ( = y,(x), vi ==vi(x)
1) Encyklopädie, II A, pp. 194, 195.
2) Der dort mit C- bezeichnete Bereich ist hier durch die Bedingungen
definiert
(x, y, y') im Innern von -; - oc <; <+~ oo; - c<vii < + c,
während die Buchstaben 6(,, hier dieselbe Bedeutung haben wie im allgemeinen Satz.
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