Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 72. Existenztheoreme für Extremalen. 589
tiieren gleichzeitig die Gleichungen (5) nach x; man erhält dann ein
System von n -- m Differentialgleichungen von der Form
a -r.~rk T ' -7+....O,
k (112)
y' +....
wobei in den nicht ausgeschriebenen Gliedern die Ableitungen y"',:'
nicht vorkommen.
Jede Lösung des Systems (I) genügt auch dem System (112),
während das umgekehrte nicht der Fall ist.
Die Gleichungen (112) stellen ein System von n + m in den
Größen y,', )~ linearen Gleichungen dar, deren Determinante den folgenden Wert hat') ) 2F
aJ^ F ^F aapF ar~
day y ' 'y 'dy' d ' ~
a~pP ).. j. (i13)
(i1d 2 1,, y,2,. 1Y, 2,, 1).
Ist diese Determinante von Null verschieden, so können wir die
Gleichungen (112) nach den Größen yf', Z~ auflösen und erhalten so
das System (112) in der Normalform
dx 1 dx ' i dx^ x '(
wo nunmehr die Funktionen auf der rechten Seite als Funktionen
ihrer 2 n + m + 1 Argumente in dem Bereich2)
a' (x, y, y') in Z5; — o <<+- oo; R B(x, y, yA ) + 0
von der Klasse C' sind.
Dieser Bereich CX ist also der,,Stetigkeitsbereich" der Differentialgleichungen (112). Hieraus folgt nun unmittelbar der Satz
Ist
a~; bo,, b; b',, b~';., l ~ (115)
ein Wertsystem, für welches (a~, b~, b0') im Innern des Bereiches U liegt
und iiberdies
und (überdi0, b, b' 10) 0, (116),__ _ (a~, b~, b') = 0, (117)
1) Wegen der abgekürzten Bezeichnung vgl. die Verabredungen im Eingang von ~ 68.
2) % war der Bereich, in welchem die Funktionen f und gp von der Klasse
0C" sind, vgl. ~ 69, Eingang.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 38