Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

588 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagr ange'sehe Multiplikatoren-Methode.
Kräfte wirklich ausfihrt, erfüllt die erste notwendige Bedingung eines
Extremums des Integrals
JC dt
to
unter den Bedingungen A), B), C).
Dies ist die sogenannte Lagrange'sche Form des Prinzips der
kleinsten Aktion.
~ 72. Existenztheoreme für Extremalen und Reduktion der
Euler-Lagran g e'schen Differentialgleichungen auf ein
kanonisches System.
Wir wenden uns jetzt zur Frage der Integration der EulerL a g r ang e'shen Differentialgleichungen
aF _ (7)
(1) 1 y dx Ay: =, (7)
p, {=o. (5)
Dabei werden wir uns, wie überhaupt bei der ganzen weiteren Behandlung des Lagrange'schen Problems, auf den Fall beschränken,
wo sämtliche Nebenbedingungen (5) Differentialgleichungen sind, und
wo die Konstante 1 =o ist, sodaß also
F-f +rip-f
Wir werden zunächst die Aufgabe betrachten, die Differentialgleichungen (I) mit gegebenen Anfangsbedingungen zu integrieren,
sodann die Reduktion dieser Differentialgleichungen auf ein sogenanntes
~kanonisches System" behandeln und schließlich mit Hilfe der so gewonnenen Normalform die Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten untersuchen.
a) Existenz einer Lösung bei gegebenen Anfangswerten:1)
Ur auf die Differentialgleichungen (I) die allgemeinen Existenztheoreme anwenden zu können, müssen wir dieselben zunächst auf die
Normalform von ~ 23, a) reduzieren. Zu diesem Zweck führen wir
in den Gleichungen (7) die Differentiation nach x aus und differen1) Vgl. dazu C. JORDAN, Cours d'Analyse, Bd. III, Nr. 374, und v. EscHERICH,
Wiener Berichte, Bd. CVII (1898), p. 1209; v. Escherich gibt auch die entsprechenden Entwicklungen für den Fall gemischter Nebenbedingungen.