Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 71. Der Fall gemischter Bedingungsgleichungen. 587
C) Anfangslage und Endlage sind dieselben wie bei der wirklichen
Bewegung; die Anfangslage soll auch zur selben Zeit to eingenommen werden, aber die Zeit, zu welcher das System die
Endlage einnimmt, ist nicht vorgeschrieben.
Unter all diesen Bewegungen soll diejenige gefunden werden, bei
welcher das Zeitintegral der lebendigen Kraft
tl
J=jTdt
to
den kleinsten Wert einnimmt.
Wir haben also ein Lagrange'sches Funktionenproblem mit gemischten Nebenbedingungen bei variabler oberer Grenze. Es ist hier
F = T + U(T -)- +- h) a
wobei Ä, a Funktionen von t sind.
Daraus ergeben sich die Euler-Lagrange'schen Differentialgleichungen
a
dt (t + A)mx =y - X X' +xl, a
dt a( +),y=- ^+^f (
d a
dt (1 + A) inz, -A z +L
Hierzu kommen dann noch die Gleichungen (109) und die Differentialgleichung (110).
Da die Funktionen T, cp, U die unabhängige Variable t nicht
explizite enthalten, so können wir nach (104) ein erstes Integral unmittelbar angeben. Dasselbe reduziert sich hier auf
-(1 + 2))T = c.
Der Wert der Konstanten c ist aber nach ~ 71, a), Ende, gleich Null,
weil die obere Grenze t1 nicht vorgeschrieben ist. Daraus folgt, da
im Fall einer Bewegung T > 0,
Setzen wir diese ert von in die Differetialgleichugen (11)
Setzen wir diesen Wert von 2A in die Differentialgleichungen (111)
ein und schreiben \, statt 2g, so erhalten wir die Differentialgleichungen (39), also die Differentialgleichungen der wirklichen Bewegung. Wir haben also das Resultat:
Die Bewegung, welche das System unter der Wirkung der gegebenen