Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 70. Diverse Bemerkungen zur Multiplikatorenregel. 579
unter der Einwirkung der Schwere in einem widerstehenden Medium zu bewegen,
und ist die gegebene Anfangsgeschwindigkeit v1, so erhält man die Geschwindigkeit v = v(r) im Punkt r, indem man die Differentialgleichung1)
vv' - gz' + R(v) /x'S- +y' + z'= (83)
mit der Anfangsbedingung
V(r1) = V1
nach v integriert. Hierdurch ist die Funktion v (v) vollständig bestimmt, also
auch ihr Endwert
v2 =v(2)Wir stellen uns jetzt die Aufgabe: Unter allen, zwei gegebene Punkte P1 und P2
verbindenden BRaumkurven diejenige zu bestimmen, fir welche die so erhaltene Endgeschwindigkeit ein Maximum wird.
Analytisch können wir die Aufgabe folgendermaßen formulieren: Unter
allen,Kurven"
x==X() y =y(r), z -= ( V), t - < (), -r<
im Raum der Variabeln x, y, z, v, welche der Differentialgleichung (83) und den
Anfangsbedingungen
x(r1)==, Y (ti) ==, Z (1) ==1, v(r1)== v1,
x(r2) X= x, y(r2) = y2, z(r2) =
genügen, diejenige zu finden, für welche v(vr) ein Maximum wird; r1 und r2
sind dabei nicht gegeben.
Dies ist ein Mayer'sches Problem in Parameterdarstellung.
Die Differentialgleichungen, die man nach der allgemeinen Regel von
~ 70, c) erhält, sind aber, wie man sofort sieht, identisch mit den Differentialgleichungen für den "Ausnahmefall" (1o = 0) beim Problem der Brachistochrone
im widerstehenden Mittel.
Es gelten also die Resultate (84) bis (87) von ~ 70, e), wenn wir darin
I = 0, also
H= X R(v)
setzen. Die Kurve liegt daher in einer vertikalen Ebene, die wir wieder zur
xz-Ebene wählen, und die Differentialgleichungen des Problems lauten:
dx dz
BR(v) - - a, (v) - c + g, (84 a)
d s ) +
v-u '(v), v- g- -R(), (85 a)
ds ds ds
ads) +ds -- =1
Wir wollen hieraus eine interessante, schon von EULER ) gefundene Eigen1) Vgl. pp. 6 und 577. Die Bezeichnung ist dieselbe wie dort, und die
positive z-Achse ist wieder vertikal nach unten gewählt. Der Akzent bedeutet
Differentiation nach r.
2) Methodus inveniendi etc., p. 125.