Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

578 Elftes Kapitel. Die Euler-L agrange'sche Multiplikatoren-Methode.
Die Differentialgleichungen (84) und (85) zusammen mit (83) stellen dann die
Differentialgleichungen des Problems dar.
Schon EULER1) hat diese Differentialgleichungen richtig aufgestellt und sie
auf Quadraturen zurückgefihrt.
Zunächst folgt aus (841) und (849):
bx'- ay = 0,
d. h. die gesuchte Kurve liegt in einer vertikalen Ebene. Wir wählen dieselbe
zur xz-Ebene unseres Koordinatensystems, sodaß
y-=0.
Aus (84) ergibt sich nun weiter
2 =- a2- (c+ g). (86)
Diese Gleichung bestimmt 1 als Funktion von v und den beiden Integrationskonstanten a und c. Dividiert man (84,) und (84,) durch (85), so erhält man
avd dz (c -+ g)vdl
dx -- dz —
Denkt man sich hierin den oben gefundenen Wert von 1 eingesetzt, so erhält
man durch zwei Quadraturen x und z ausgedrückt als Funktionen von v:
x + A- (v; a, c), z + C = (v: a, c), (87)
also eine Parameterdarstellung der gesuchten Kurve.
Für die Konstantenbestimmung bemerken wir zunächst, daß für v = - nach
(81) die Grenzgleichung
vaF v_ I =0 (88)
erfüllt sein muß, da der Endwert von v nicht vorgeschrieben ist. Hieraus folgt,
wenn wir die Gleichung (86) zunächst mit v2 multiplizieren und dann v ==
setzen, (a2 c2)v> = 1. (88a)
Setzt man in den Gleichungen (87) zuerst r =,, dann v == T, so erhält man
zusammen mit (88a) fünf Gleichungen zur Bestimmung der fünf unbekannten
Konstanten a, c, A, C, v2.
Die ebenfalls schon von EULER2) behandelte Modifikation der Aufgabe, bei
welcher die Endgeschwindigkeit v2 vorgeschrieben ist, unterscheidet sich von der
obigen Aufgabe nur darin, daß an Stelle der Grenzgleichung (88) jetzt die
Gleichung v(r,) == v tritt, wodurch die Konstantenbestimmung noch einfacher wird.
f) Beispiel XXV: Kurve größter Endgeschwindigkeit unter der
Wirkung der Schwere im widerstehenden Mittel:
Ist ein materieller Punkt von der Masse 1 gezwungen, sich auf einer gegebenen Kurve
x = x (T), y = yy(T), z = (), 1 < t < T
1) Methodus inveniendi etc. p. 126. Die im Text gegebene Anordnung des
Beweises rührt von A. C. LUNN her.
2) Methodus inveniendi, p. 214.