Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 8. Der allgemeine d-Prozeß. 45
y- -x-ChX
y= aCh-a
die gegebene Kurve ( im Punkt P1 orthogonal schneiden muß; wir erhalten
also dieselbe Bedingung wie im speziellen Fall a). ) Dasselbe Resultat gilt
allgemein ) für
/ = G(x, y) /1 + y'2
Wir bemerken noch für späteren Gebrauch, daß sich aus (58)
der folgende Ausdruck für die totale Variation ergibt:
AJ= - s[f(x1, y1, y1) + (y; -Y) fy (x" Y1, Yi)] + 4(). (60)
Wenn statt des Punktes P1 der Punkt P2 auf einer gegebenen
Kurve E beweglich, dagegen Pt fest ist, so führt eine ganz analoge
Betrachtung zu der entsprechenden Bedingung
f(x2, Y2 y2) + ('2 - Y )f,'(x2, Y2, Y2)=, (59a)
und dem Ausdruck
aJ= E[f(x2, y, y2) + (Y - y)fy,tx2, y2, y 4)] + &(). (60a)
Sind beide Endpunkte beweglich, P1 auf einer Kurve (L, P1 auf
einer Kurve e2, so muß die gesuchte Kurve eine Extremale sein, und
es müssen gleichzeitig die beiden Transversalitätsbedingungen (59)
und (59a) erfüllt sein.
~ 8. Der allgemeine d-Prozeß.3)
Wir knüpfen an die Entwicklungen des letzten Paragraphen eine
Besprechung des allgemeinen d-Prozesses, der eine so hervorragende
Rolle in der älteren Variationsrechnung gespielt hat.4) In ~ 4 haben
wir eine vorläufige Definition desselben gegeben für spezielle Variationen der Form
1) Die Bedingung (56) kann als Grenzfall von (59) aufgefaßt werden, für
y= oo; vgl. übrigens die Behandlung des Problems in Parameterdarstellung,
~~ 34, 35.
2) Vgl. dazu Übungsaufgabe Nr. 17 am Ende von Kap. III.
8) Wir empfehlen dem Leser, diesen Paragraphen vorläufig zu überschlagen
und erst bei Bedarf darauf zurückzugreifen.
4) Bei LAGRANGE und bei allen älteren Autoren ist,calcul des variations"
geradezu identisch mit der Theorie des d-Prozesses, und die Theorie der Extrema bestimmter Integrale wird als Anwendung dieses Variationskalküls aufgefaßt.