Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

572 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange' sche Multiplikatoren-Methode.
welche die folgenden Bedingungen erfüllen
Yi(x, o,,..., o) = yj(x), Yi(x, o, 0,..., ) = y(x),
Y,(xl, ~,1 X. *, En) -= y(x1), Y,(X2 X, 1,,..., * = () Xs),
Yi(Xo + E, E1 * *., En) = YiO + i - Yi (Xo + e,,...*, ~n).
Die Herstellung zweier solcher Scharen erfolgt nach derselben Methode, die
später bei der Ableitung der Weierstraß'schen Bedingung (~ 74, a)) auseinandergesetzt werden wird.
Die Bedingungen (74) ergeben sich dann in bekannter Weise durch Anwendung des d-Algorithmus in Beziehung auf jeden der Parameter E, sE...,.
Wir heben noch den folgenden Zusatzl) hervor: Wenn
Y (xo) -- y (x~)'
so ist auch: (Xo) =,(Xo).
Denn in diesem Fall reduzieren sich die Gleichungen (74) auf die n Gleichungen
0
aus denen nach (44) unsere Behauptung folgt.
Wenn überdies in der Bezeichnung von ~ 72, a) die Bedingung:R(Xo, y(xo), y (Xo), A(xo)) + O
erfüllt ist, so ist nach ~ 72, a) die Extremale -o die "Fortsetzung" der Extremalen eo im Sinn von ~ 23, d) und daher ist insbesondere auch
Y (X0) =- y;' (Xo).
c) Das Mayer'sche Problem:
Führt man in dem Lagrange'schen Problem als neue unbekannte
Funktion das Integral
x
Yo -f f(x, y~, *,> y., y,..., yn)dx
ein, so läßt sich das Integral J auch definieren als der Wert, welchen
die durch die Differentialgleichung
Yo - f(x, y, Yi. y, * *. y = 0
und die Anfangsbedingung
yoIx - 0
definierte Funktion yo für x = x2 annimmt.
Daher läßt sich das Lagrange'sche Problem mit n unbekannten
1) Derselbe folgt auch aus der HIahn'schen Modifikation des Beweises der
Multiplikatorenregel, siehe ~ 69, e) Ende.