Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 70. Diverse Bemerkungen zur Multiplikatorenregel. 571
Folge, daß die letzte der Gleichungen (63) jetzt lautet
AF x2
Ym '
Hieraus ergibt sich das allgemeine Resultat:
Sind die Endwerte der Funktionen y~, y,..., y? im Punkt x2
nicht vorgeschrieben, sondern willkürlich, so hat man den EulerLagrange'schen Differentialgleichungen noch die,Grenzgleiczhungen"
aFx20o, F2,, a =o (72)
hinzuzufügen.
Ist dagegen die obere Grenze x2 nicht vorgeschrieben, während die
sämtlichen übrigen Koordinaten der beiden Endpunkte gegeben sind,
so lautet die ~Grenzgleichung"
F — aF X2o
Z a 2 o1 (73)
wie man am einfachsten durch Tbergang zur Parameterdarstellung') zeigt.
b) Diskontinuierliche Lösungen:
Wir nehmen jetzt an, eine aus zwei Kurven der Klasse C":
eo: yi= yi(x), i X < Xo,
und
y y Y(x), X. o k x < x<
zusammengesetzte stetige Kurve liefere für das Integral J ein Extremum mit
den Nebenbedingungen (5). Über jede der beiden Kurven werden die Voraussetzungen (42) und (44) gemacht.
Dann muß zunächst jede der beiden Kurven eine Extremale sein. Wir
nehmen an, daß die Extremale (0 sich in Beziehung auf das Intervall [xAlo]
normal verhält, und ebenso die Extremale eo in Beziehung auf das Intervall
[xo x]. Alsdann müssen im Punkt Po die folgenden Eckenbedingungen2) erfüllt sein:
F+s~(x, y), Y', )l ~= FM+.i(, y, Y ^,)1o, (74)
F(x, y, y', A) - in+(x, y, y', Z)y0 1= F(x, y, y', ) — JF+ (x, y, Y, ~),
i i
wenn X;, resp. As, die zu (o, resp. (, gehörigen Multiplikatoren bezeichnen.
Zum Beweis konstruiere man zwei (n + 1)-parametrige Scharen zulässiger
Variationen
y yi(, E, Et,..., ),
Yi Yi (,= Y,(a x,.., E,),
1) Vgl. ~ 70, d), Ende. Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 3, 5 am Ende von
Kap. XIII.
2) Vgl. die Verabredungen über die Bezeichnung im Eingang von ~ 68.