Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

570 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
1. Es seien alle Endwerte vorgeschrieben mit Ausnahme des
Wertes von yn im Punkt x2. Wir wählen dann die Funktionen X
ebenso wie in ~ 69, a) mit der einzigen Ausnahme, daß wir jetzt
1n(X2) + 0
annehmen. Dann schließen wir genau wie früher weiter; die letzte
der Gleichungen (47) lautet dann
Yn(x2, 1, SE 1, *,m) Y(X2) + 872n(X2).
Sonst bleiben alle Schlüsse ungeändert bestehen bis zur Gleichung (60)
inklusive. Erst bei der Ausführung der partiellen Integration tritt
eine Änderung ein, insofern in Gleichung (61) auf der linken Seite
nun noch das Glied
aF 2
rln(X2)
hinzuzufügen ist. Bestimmt man daher jetzt wieder die Funktionen X,
aus den Differentialgleichungen (62) mit den Anfangsbedingungen (63),
so folgt aus der vorangegangenen Betrachtung von Variationen mit
festen Endpunkten, daß gleichzeitig die Differentialgleichungen (65)
bestehen. Daher bleibt auf der linken Seite von (61) gerade nur das
obige Zusatzglied stehen, woraus folgt, daß
aFyx2
sein muß.
2. Sind dagegen alle Endwerte vorgeschrieben mit Ausnahme
des Wertes von Ym in x2, so ändern wir die ursprüngliche Beweisführung dahin ab, daß wir jetzt nur m Größen E einführen, sodaß
m-l
Ym+r(X,,1...1. ) - Ym r(X) + im+r() +-.~s +r(X)
fi1
Dementsprechend hängen jetzt auch die Funktionen Y, nur von
m Größen s ab, die nunmehr nur m - 1 Bedingungsgleichungen
Y (X2 * * * Em-) = Y (2)
~a: 1 2,..., m -,
unterworfen sind. Durch dieselbe Schlußweise wie in ~ 69, b) erhalten
wir statt der Gleichungen (55) und (56) entsprechende Gleichungen,
die sich von jenen nur dadurch unterscheiden, daß jetzt die Indizes
c, ß nur von 1 bis m - 1 laufen. Indem wir in der früheren Weise
weiter schließen, erhalten wir an Stelle von (60) eine Gleichung, die
aus (60) hervorgeht, wenn man darin lm = 0 setzt. Das hat zur