Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

566 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
Hieraus folgt, daß bei normalem Verhalten von Wo die Multiplikatoren A,
von der Wahl der Funktionen fr+r unabhängig sind.
e) Historisches:
Die Multiplikatorenregel ist zuerst von EULER1) durch eine scharfsinnige,
aber ziemlich komplizierte Infinitesimalbetrachtung für den speziellen Fall gefunden worden, wo das Integral
x2
J- (x, vy, y, y..., y(n))dx
x1
mit der Nebenbedingung
v' = g(x,, y,',., y(n))
zu einem Extremum zu machen ist.
Den allgemeinen Satz hat zuerst LAGRANGE 2) bewiesen mit Hilfe seines JAlgorithmus und seiner partiellen Integration. Er schließt folgendermaßen: Da
die Kurve (o das Integral J zu einem Extremum machen soll, so muß J == 0
sein; daneben müssen die Gleichungen d(cp = 0 erfüllt sein, d. h. es müssen
gleichzeitig die Gleichungen (32) und (58) bestehen, wenn unter mi die durch
die Gleichungen 8yi = s7] definierten Funktionen verstanden werden.3) Hieraus
wird dann wie oben in ~ 68, b) mit Hilfe der unbestimmten Multiplikatoren und
durch Anwendung der partiellen Integration die Gleichung (35) abgeleitet.
Nunmehr wird weiter geschlossen: Die Gleichung (32), und daher auch (35),muß
für alle Funktionen.i erfüllt sein, welche in x, und x, verschwinden und den
Relationen (58) genügen. Von den n Funktionen 7i können wir aber die n - m
letzten willkürlich annehmen und die übrigen dann aus den Differentialgleichungen
(58) bestimmen. Dann werden die Multiplikatoren Aß so gewählt, daß sie den
n Differentialgleichungen (62) genügen, wodurch sich die Gleichung (35) auf die
Gleichung (61a) reduziert. Aus dieser folgen dann wegen der angeblichen Willkürlichkeit der Funktionen,m+r die Differentialgleichungen (65).
Der Beweis enthält jedoch wesentliche Lücken.
Zunächst ist die Behauptung, daß die Funktionen r,+r willkürlich gewählt
werden können (abgesehen von der Bedingung, daß sie in x, und x2 verschwinden
müssen) nur dann richtig, wenn die sämtlichen Gleichungen (5) endliche Gleichungen sind, oder aber, wenn die Endwerte der Funktionen y, in x, willkürlich
bleiben. Wenn dagegen die Gleichungen (5), wie wir hier vorausgesetzt haben,
Differentialgleichungen sind und die Endpunkte fest sind, so kann man zwar,
nachdem man die Funktionen +r, gewählt hat, den Funktionen?, noch vorschreiben, daß sie in xl verschwinden sollen. Durch diese Anfangsbedingungen
1) Methodus inveniendi etc. (1744) p. 119. Vgl. auch die Darstellung von
KNESER (Encyklopäddie, IIA, p. 579, und "Euler und die Variationsrechnung",
Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften,
Bd. XXV, p. 28).
2) Oeuvres, Bd. I, p. 347, 350; Bd. X, pp. 414-421.
3) Die Funktionen Ei haben hier also eine andere Bedeutung als unter a).