Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 69. Der Fall von Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. 563
und die m Anfangsbedingungen
I+ =o, -0 a-1,2,..,m. (63)
Schreibt man die Differentialgleichungen (62) aus, so sieht man,
daß dieselben ein System von m linearen Differentialgleichungen in;... * Am darstellen, und daß die Determinante der Koeffizienten der
Ableitungen 2,..., im mit der im ganzen Intervall [xlx2] von Null
verschiedenen Funktionaldeterminante (44) identisch ist. Ferner lauten
die Gleichungen (63) ausgeschrieben
la + @ +^ A = -0; (64)
dieselben lassen sich also wegen der Voraussetzung (44) eindeutig
nach den m Anfangswerten A, (x2) auflösen. Aus alledem folgt nach
den Existenztheoremen1) für Systeme linearer Differentialgleichungen,
daß es ein den Differentialgleichungen (62) und den Anfangsbedingungen (63) genügendes Funktionensystem A. (x) gibt, welches im
Intervall [x1 x2] von der Klasse C' ist. Zugleich folgt aus den über die
Konstanten 1 gefundenen Resultaten, daß auch die Funktionen;A(x)
von der Wahl der Funktionen r7m+r unabhängig sind.
Setzen wir die so bestimmten Funktionen A in die Gleichung
(61) ein, so geht dieselbe über in
n-m, (m+r + dJ a- )dx =. (61a)
YYrn+r dx r 1
x rI
XDa diese Gleichung für alle Funktionen rm7+r der Klasse C", welche
in beiden Endpunkten verschwinden, gelten muß, so folgt aus dem
Fundamentallemmas) der Variationsrechnung, daß
F d aF
r —+r d Y = 0, r = 1,2., -m. (65)
'Ym+r dx OYm+r
Ist lo + 0, so können wir, da nur die Verhältnisse der Größen 1
bestimmt sind, I = 1 setzen und haben dann in den Gleichungen (62)
und (65) die Euler-Lagrange'sche Multiplikatorenregel in der in
~ 66 gegebenen Form vor uns.
Ist dagegen l =-0-, so liegt ein Ausnahmefall vor, mit dem wir
uns im nächsten Absatz zu beschäftigen haben werden.
1) Vgl. Encyklopädie, II A 4a (PAINLEVE), Nr. 5 und PICARD, Traite d'Analyse, Bd. III (1896), p. 91, 92.
2) Vgl. p. 25, Fußnote 5).