Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 69. Der Fall von Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. 559
sodaß also Y (x, 0+, 0,..., 0) = y +(x) in [xx2] (46)
und
Ym+r(X, E, E, -m)=Ym+r(X1) Yn^+r(X2,,1 * ' E z)=Y-m+ (X2) (47)
für alle Werte der E. Ferner ist
a, Yr r - Yb =m r. (48)
a q7m+r, a,? m+ + r '
Nunmehr stellen wir uns die Aufgabe, das System von m Differentialgleichungen
9(x, Yi,;.. y?,,.. n y, Y;L+,... Yn) =,
(49)
— 1,2,..., m
nach y, Y2..,, m aufzulösen.
Dieses Differentialgleichungssystem enthält die Größen &,,..., m
als konstante Parameter. Für das spezielle Wertsystem: =-O, l =0,...,
em = 0 derselben kennen wir nach (42) eine Lösung, nämlich
Y = y (x).
Sowohl die linken Seiten der Differentialgleichungen (49) als
Funktionen von x, y..> Ym, Y1'.. " Y, E,,,... m, als auch die
Funktionen y,(x) besitzen die in dem Existenztheorem1) von ~ 24, e)
vorausgesetzten Eigenschaften, wobei besonders von der Voraussetzung
(44) Gebrauch zu machen ist. Daraus folgt die Existenz eines Lösungssystems y_ Ya(x, E, E,... Em)
von folgenden Eigenschaften:
1. Die Funktionen Yo ihre ersten Ableitungen, sowie die Ableitungen T2Y,/rEax, b2Y,/a/sax sind stetig in dem Bereich
Xi: x < x2, Il < d, IES < d<
wofern die positive Größe d hinreichend klein gewählt wird.
2. Die Funktionen Y" genügen für alle hinreichend kleinen Wertsysteme der E den m Differentialgleichungen
T:(., Y..., Y Y;,..., Y)= (50)
3. Es ist
Y,_(x, 0, 0,..., 0) = y(x). (51)
1) Und zwar in der speziellen, am Ende von ~ 24, e) erwähnten Fassung,
bei welcher in der dortigen Bezeichnung x, -=. Bei Anwendung des Satzes
hat man eine ganz ähnliche Vorbetrachtung anzustellen wie auf p. 550, Fußnote 1).
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