Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

558 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
~ 69. Die Multiplikatorenregel für den Fall von Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.l)
Der Beweis der Multiplikatorenregel ist wesentlich schwieriger
in dem Fall, wo die Nebenbedingungen (5), wenigstens zum Teil,
die Ableitungen ye' enthalten. Wir betrachten zunächst den einfacheren
Fall, wo sämtliche Nebenbedinngngene Differentialgleichungen sind.
Wir machen dabei über die Kurve eo dieselben Voraussetzungen
wie in ~ 68, nur daß jetzt an Stelle der endlichen Gleichungen (21) die
Differentialgleichungen
q) (x, y(,'.., yn(x), y(),..., y(x)) = 0 (42)
treten, und daß die Voraussetzung (22) durch die Annahme zu ersetzen ist, daß mindestens eine Determinante mten Grades der Matrix
jlasp i i==1, 2,...,n,
p1s: ' /3-l 2'., ' '(43)
entlang @o von Null verschieden ist,2) etwa
a (?~, c,,., (F.) eo% 0
9 X X X ==0+ ~ (44)
Von den Funktionen sp wird vorausgesetzt, daß sie in demselben
Bereich X; wie die Funktion f von der Klasse C"' sind.
a) Herstellung einer Schar von zulässigen Variationen:
Dazu wählen wir zunächst (m + 1) Systeme von je (n -m)
Funktionen3) m +r(X
Vm+r(X), M +r (X ) (
von der Klasse C", welche in x, und x2 verschwinden:
3 Om +r(X2) -, < n+r (X) 0- (45
+)m + r (X, +, =
sonst aber willkürlich sind.
Sodann definieren wir
Ym+r(X, E,, *., E,) Y= m+r(X) +,m r+r(X) +2~l<+ (X),
1) Im wesentlichen nach HILBERT, Göttinger Nachrichten 1905 und
Mathematische Annalen, Bd. LXII (1906), p. 351. Vgl. auch die historische
Skizze am Ende dieses Paragraphen, sowie BOLZA, Mathematische Annalen,
Bd. LXIV (1907), p. 370.
2) Diese Voraussetzung läßt sich durch die schwächere ersetzen, daß in jedem
Punkt von Wo mindestens eine Determinante mten Grades der Matrix (43) von Null
verschieden ist, vgl. HaHN, Mathematische Annalen, Bd. LVIII(1903), p. 161.
8) Man beachte die im Eingang von ~ 68 getroffenen Verabredungen über
die Bezeichnung, die auch hier in Kraft bleiben.