Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 68. Der Fall endlicher Bedingungsgleichungen. 557
Dann ist
F i 2(Uf+)\ y h ^ +l Xa;
also lauten die Differentialgleichungen des Problems
vd y/2 (U h) 2 ( XV + a
md a / j-2(U + h) +UX,
und zwei analoge Gleichungen für y1,, z,. Diese 3n Differentialgleichungen sind aber nach ~ 70, d) nicht voneinander unabhängig,
und wir können eine beliebige,Zusatzgleichung"') hinzufügen, was
mit einer speziellen Wahl des Parameters gleichbedeutend ist. Wir
wählen diese Zusatzgleichung folgendermaßen
E + i- =1 (40)
und bezeichnen den ausgezeichneten Parameter, für welchen dieselbe
statt hat, mit t. Dann gehen die Differentialgleichungen des Problems
in die Differentialgleichungen (39) über, d. h. also in die Differentialgleichungen der Bewegung, welche das System unter der Einwirkung
der gegebenen Kräfte wirklich ausführt.
Die Bahn des Systems bei der wirklichen Bewegung ist also eine
Extremale für das obige Variationsproblem.
Zwischen einem beliebigen Parameter r und dem ausgezeichneten
Parameter t, welcher der Zeit im mechanischen Problem entspricht,
-folgt aus (40) die Beziehung
rfdx /"2 (r v,, fdz,\
1/V zm v[(1 ) + Q ) + (dr) dv
=t1=- to + ~ (41)
Das Charakteristische des Prinzips der kleinsten Aktion in dieser
Form besteht darin, daß die Zeit darin gar nicht vorkommt. Hat
man mittels desselben die Bahn des Systems mit einem beliebigen
Parameter r bestimmt, so kann man nachträglich, wenn man sich
dafür interessiert, die Zeit durch die Quadratur (41) erhalten.
Auch hier kann man wieder ~allgemeine Koordinaten" q1, q2,.., q,
einführen und erhält dann eine ähnliche Modifikation des Satzes wie
beim Hamilton'schen Prinzip.
1) Vgl. ~ 26, a) und ~ 70, d).
B o l z a, Variationsrechnung. 36