Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 7. Der Fall beweglicher Endpunkte. 43
X1 = - x +
ist. Dann wählen wir willkürlich eine Funktion r(x) von der Klasse C',
welche den Bedingungen
~(x)+O, (x2)= O
genügt, und betrachten die Schar von Kurven
y = y(x) + k(x),
welche sämtlich durch den Punkt P2 gehen. Eine Kurve dieser
Schar wird dann durch den Punkt P1 gehen, nämlich diejenige, für
welche der Parameter k aus der Gleichung
y(xl + e) + k(i(x + s) = ~(x1 + E)
bestimmt wird, woraus sich
k = +' N)- K + E) (
r)(x, + e) _
ergibt. Dann stellt die Kurve
(:. y= y(x) + Ak(E) (x), x1 < x < X2
für jeden hinreichend kleinen Wert von I s eine zulässige Variation
von ( dar. Da
(x,) - y(xi),
so ist k(0)= 0; die Kurve d reduziert sich also für = 0 auf die
Kurve (. Ferner merken wir noch an, daß
dk () -Yi (57)
\ d )E=o i
wenn wir zur Abkürzung schreiben
y= y'(x), y 1 = (,(x1), n = ()
Wir bilden jetzt das Integral Ja. Dasselbe ist eine eindeutige
Funktion von E, die wir mit J(E) bezeichnen, so daß
J(E) =f(x, y + k()?, y' + k()')dx,
wobei wir besonders hervorheben, daß jetzt die untere Grenze des
Integrals von E abhängt.