Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

552 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagran g e 'sche Multiplikatoren-Methode.
integrieren zwischen den Grenzen x, und x2 und addieren die sämtlichen so erhaltenen Gleichungen zu (32). Wir erhalten so die Gleichung ~
V(b 4 - + A ) dx- O, (34)
x1 i
wenn wir zur Abkürzung
1F= f +~q'r
setzen.
Sodann wenden wir auf das Integral (34) die Lagrange'sche
partielle Integration an und erhalten, da sämtliche Funktionen n^(x)
nach (23) und (31) an beiden Grenzen verschwinden,
yF-d dy dx - O, (35)
1 i t
und nunmehr bestimmen wir, immer nach LAGRANGE, die m unbestimmten Funktionen L, aus den m Gleichungen
AF d AF/
- =0.
ay dx y'
Ausgeschrieben lauten dieselben
a + af d af 0.,/ ay ay, dx ay-.
Sie bestimmen also wegen der Voraussetzung (22) die Funktionen Al,
eindeutig als stetige Funktionen von x im Intervall [x1x2].
Bei dieser speziellen Wahl der Funktionen i reduziert sich die
Gleichung (35) auf
x2
fjS2 bF d ()F d7 0 -Y + dx (y ym + ) r
xI r
Da aber die Funktionen Vm+~ ganz beliebige in x1 und x2 verschwindende Funktionen der Klasse C' waren, so folgt hieraus, daß
AF d bF
Ym~+r _ daix y+r
sein muß für r =, 2,..., n- n; man braucht nur je n - - m
der Funktionen l m.+r identisch gleich Null zu setzen und dann das
Fundamentallemma der Variationsrechnung (~ 5, b)) anzuwenden.
Hiermit ist aber die Multiplikatorenregel in der Tat für den Fall
endlicher Bedingungen bewiesen: