Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 68. Der Fall endlicher Bedingungsgleichungen. 551
und diese Gleichungen werden nach (21) befriedigt durch: y; y=(xi);
daraus folgt aber wegen der Eindeutigkeit der Lösung, daß: Y,(x, E)
=-y(x).1)
Hieraus folgt, wenn man noch die aus ihrer Definition folgenden
Eigenschaften der Funktionen Ym+r hinzunimmt, daß die Kurvenschar
y = Y(x, 8), x < x < x2 (29)
eine Schar zulässiger Variationen der Kurve (o darstellt: Sie hat die
erforderlichen Stetigkeitseigenschaften, genügt den m Gleichungen (26),
und es ist
Yi(x, 0) = yi(x), (27 a)
Yi(xl, s) = y(x1), Yi(x2, ) = yi(2). (28a)
Durch Differentiation der Gleichungen (28) nach s folgt noch:
Bezeichnen wir
a8Y^'SZ,~ ) '=^ ~(30): Y; ] = ~,3 (x),
so ist
i(1) == 0, (x2) = 0. (31)
b) Die Lagrange'schen Multiplikatoren:
Für diese Schar (29) muß nun im Falle eine Extremums
6J=0
sein. Gleichzeitig folgt durch Differentiation der Gleichungen (26)
nach E, daß
a =0 O
ist. Ausgeschrieben lauten diese Gleichungen unter Benutzung der
Bezeichnung (30)
x, i
j V~y7 z -- =0, (33)
i
wobei die Argumente in den Ableitungen der Funktionen f und Sp9
sich auf die Kurve (o beziehen.
Wir multiplizieren jetzt nach dem Vorgang von LAGRANGE2) die
Gleichungen (33) mit vorläufig unbestimmten stetigen Funktionen 2L(x),
1) Man kann dasselbe Resultat auch direkt beweisen, indem man die Identititäten (26) nach s differentiiert und dann x = x1 setzt.
2) Oeuvres, Bd. IX, p. 312; Bd. X, pp. 416, 420.