Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

550 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sehe Multiplikatoren-Methode.
und setzen
und se n Y, ) Ym+r() + 81m+r(). (24)
Dann lassen sich auf Grund unserer Voraussetzungen, insbesondere
der Voraussetzung (22), nach dem erweiterten Satz') über implizite
Funktionen (~ 22, e)) die m Gleichungen
Tqy(X, y,.., Ym, Ym.+l... Yn) (25)
in der Umgebung der Punktmenge
e: x1 x <0 x, = o, yl, y~ (x)
eindeutig nach y,..., Y, auflösen. Die Lösungen
y Y= Ys(x, a),
für die somit identisch in x und E die m Gleichungen gelten
S9P(x, Y(x, ),..., Y,( x, )) = 0, (26)
sind dann samt den Ableitungen aY,/cx, c: Y/x, CY /cx ) stetig
in dem Bereich x
wenn 6 eine hinreichend kleine positive Größe ist, und es ist
Y(x,O) =y(x). (27)
Überdies genügen aber die Funktionen Y, den Anfangsbedingungen
Y (xs, ) = y (x,), Y(X, 6) = y(X2) (28)
identisch in e. Denn setzt man in (25) x xl während e beliebig
bleibt, so erhält man nach (23)
(____x__y 2 Ym Y m+ (X),.. 2 Yn ()) 0,
1) Vor Anwendung des Satzes hat man zunächst die Kurve (o auf ein
etwas weiteres Intervall [X, X2] fortzusetzen, so daß auch der verlängerte Bogen
von der Klasse C" ist und ganz im Inneren von U liegt. Dann kann man eine
Umgebung (d) dieses verlängerten Bogens angeben, welche ebenfalls noch ganz
im Inneren von D liegt. Man setze dann auch die Funktionen ]l +r (x) auf das
Intervall [X X2] fort, so daß sie von der Klasse C' bleiben und bestimme dann
eine positive Größe S% so, daß: s72 +(x) < d für: X< x X<X2, I < s.
Alsdann ist der auf p. 167 mit (6 bezeichnete Bereich definiert durch die
Ungleichungen:: x, Z X x2, E J < Eo, t y- y (x)<
In diesem Bereich (9 und in der in seinem Inneren gelegenen Punktmenge 6
haben dann die linken Seiten der Gleichungen (25) als Funktionen von x, s, y,..., Y
die in dem Satz von ~ 22, e) verlangten Eigenschaften A) bis D).
2) Um die Existenz und Stetigkeit der letzteren Ableitungen zu beweisen,
differentiiert man die Identitäten (26) nach s und löst nach aY,/lsa auf. Es
zeigt sich dann, daß sogar die Ableitungen D2 Yi/ls2 und b3 Y,/3xs E2 existieren
und stetig sind, was für die Behandlung der zweiten Variation von Wichtigkeit ist.