Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 68. Der Fall endlicher Bedingungsgleichungen. 549
zu einem Minimum macht in Beziehung auf die Gesamtheit aller in
einer gewissen engeren') Umgebung; von Q(o gelegenen, durch die
beiden Punkte Pl,, P2 gehenden Kurven der Klasse D', welche ebenfalls den m Gleichungen (20) genügen.
Die Funktionen f und (pA werden von der Klasse C'" vorausgesetzt, und zwar f in dem Bereich 7, die Funktionen Sp3 in der
Projektion2) fl von ~U in den (x, yl,..., y.)-Raum.
Weiter setzen wir voraus, daß mindestens eine Determinante
rmten Grades der Matrix
b G i y 'i = 1, 2, * * W,n,
bei, i1' p = 1,2,..., rn,
entlang eo von Null verschieden ist3); es sei z. B.
6( ' M) = + 0 in [x, xj. (22)
Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir für die folgenden
Entwicklungen fest, daß die verschiedenen Indizes ganz bestimmte
Zahlenreihen durchlaufen sollen, und zwar
i, j, k = 1, 2,..., n, t, y -= 1, 2, '., m,
r = 1, 2, * *.., n - m,
so daß also z. B. _ stets eine Summation von 1 bis n bedeuten soll.
Ebenso soll z. B. die Gleichung p, == 0 stets das System von m Gleichungen bezeichnen, welches man hieraus für /ß 1, 2, -, m erhält.
Ferner werden wir, wo kein Mißverständnis zu befürchten ist,
häufig bloß (x, y, y'), resp. (x, y, y', 1), für (x, y..., y,, y,..., y7),
resp. (x,., Y., y..., y, Al,.., im), schreiben.
Endlich werden wir, wo es wünschenswert ist, die Argumente
anzugeben, schreiben
bF =.Fi2;, + Z a t = F2
ay~ ayf
a) Herstellung einer Schar von zulässigen Variationen:
Dazu wählen wir n - m Funktionen m. +(x) der Klase C' willkürlich, nur der Bedingung unterworfen, daß sie in x, und x2 verschwinden sollen,
__m+r(_X) O, ]m+r(X2)= 0, (23)
1) Vgl. die Definition von p. 91, Fußnote 2), die sich unmittelbar auf höhere
tRäume überträgt.
2) Vgl. p 167. 3) Vgl. Fußnote 2) auf p. 558.