Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

42 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
b) Der Endpunkt P, ist auf einer beliebigen Kurve beweglich:
Wir wenden uns jetzt zu dem allgemeinen Fall, wo der Punkt P1
auf einer beliebigen im Bereich J9 gelegenen Kurve:
y -= (x)
der Klasse C' beweglich ist, während der Punkt P2 fest ist.
Dazu müssen wir unsere frühere, in ~ 3, b) gegebene Definition
des (relativen) Minimums etwas verallgemeinern. In den bisher behandelten Fällen lagen nämlich alle zulässigen Kurven in dem Streifen
der Ebene zwischen den beiden festen Geraden x = x, x = x2. Dies
ist jetzt, wo die untere Grenze unseres Integrals nicht gegeben ist,
nicht mehr der Fall. Wir werden daher jetzt sagen, eine Kurve (
liefere ein (relatives) Minimum für das Integral J, wenn
zAJ O
für jede zulässige Kurve L, welche in einer gewissen Umgebung 3% der
Kurve ( gelegen ist. Dabei soll unter einer ~Umgebung 9. der
Kurve (" jeder Bereich verstanden werden, welcher die
Kurve ( in seinem Innern ent'~ -— ~a --- — p, hält, so daß also jeder Punkt
von L ein ~innerer Punkt" von
ai ist.')
Dann schließen wir zunächst
wieder, ganz wie unter a), daß
die gesuchte Kurve
(: y==y(x), x, x x,
" x.~ ~, eine Extremale sein muß.
Fig. 6. Alsdann konstruieren wir
folgendermaßen eine zulässige
Variation, welche den Endpunkt P, variiert. Es sei P, derjenige
Punkt der Kurve e, dessen Abszisse
1) Vgl. A I 7. Mit Hilfe des in ~ 21, a) bewiesenen Lemmas läßt sich leicht
zeigen, daß für die Probleme mit festen Grenzen x,, x2, die jetzige Definition mit
der früheren äquivalent ist, sowie daß wir bei der vorliegenden Aufgabe ohne Einschränkung der Allgemeinheit für äl, z. B. den Bereich wählen können, der dadurch entsteht, daß man der Nachbarschaft (e) der Kurve ( noch einen Halbkreis mit dem Mittelpunkt 1P, und dem Radius Q hinzufügt (siehe Fig. 6).