Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

544 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
Für das Lagrange'sche Problem haben schon EULER und
LAGRANGE die folgende einfache Regel aufgestellt:
Man bilde unter Einführung von m unbestimmten Funktionen
von x l (X), 22(X), '', lm(X),
(den sogenannten "Multillikatoren") die Funktion
F=f+2 + p + A22 +** + m. m (6)
und verfahre dann so, als ob man das Integral
X2
(fFx, y, y n, Y, y2, *" ', yn) dx
X1
ohne Nebenbedingungen zu einem Extremum zu machen hätte. Dies
führt auf die Differentialgleichungen:F d aF
d 0,' i 1, 2,..., n, (7)
)yi~ dx byi'
welche, zusammen mit den Relationen (5) und geeigneten Anfangsbedingungen, im allgemeinen die n unbekannten Funktionen yi und
die Multiplikatoren öd bestimmen.
Der Beweis dieser ~,Multiplikatorenregel", die übrigens zunächst
nur richtig ist, soweit es sich um die Aufstellung der Differentialgleichungen des Problems handelt, und dann auch nur nach Ausscheidung eines später zu besprechenden Ausnahmefalls - bildet den Gegenstand des vorliegenden Kapitels.
Es sind dabei drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Bedingungsgleichungen (5) sämtlich endliche Gleichungen sind (~ 68),
oder sämtlich Differentialgleichungen (~~ 69, 70), oder zum Teil endliche, zum Teil Differentialgleichungen (~ 71).
Dem Beweis der Multiplikatorenregel für das Variationsproblem
schicken wir als Vorbereitung einen Beweis der analogen Regel für
gewöhnliche Extrema mit Nebenbedingungen voraus (~ 67). Den
Abschluß des Kapitels bildet die Reduktion der Differentialgleichungen
des Problems auf ein kanonisches System (~ 72) und im Anschluß daran
eine kurze Darstellung der Hamilton-Jacobi'schen Theorie (~ 73).
~ 67. Die Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode für
gewöhnliche Extrema mit Nebenbedingungen.1)
Es handelt sich um folgende Aufgabe: Es seien m + 1 Funktionen
von n Variabeln gegeben
f (Xl2,X2' X..n); 1 (xi 2, * ', X), 92 (1, x2 -., Xn),...., m (X1l X2.., Xn)
1) Vgl. Encyklopädie II A, p. 85 (Voss), und die dort angeführten Literaturangaben, denen wir noch hinzufügen: STOLZ, Grundzüge, Bd. I, p. 240, und WEIER