Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel. 539
Lösung: Ein in positivem Sinn durchlaufener Kreisbogen, welcher in
seinem Anfangspunkt P1 auf k senkrecht steht. Wird auf der Kurve R als
Parameter x die Bogenlänge gewählt und die positive Richtung so gewählt, daß
im Punkt P1 der Kreisbogen zur Linken der positiven Tangente an k abgeht
(01 =- t), so lautet die Kongruenz (133)
x (= x() - 1 (cos - ' ()),
y = y9 (t - z(sin t -- 9' (x),
z - - (t- 0),
wobei
x' () )= cos 0, y' () = sin 0.
Daraus ergibt sich für die Bestimmung des Brennpunktes die Gleichung
(P (t _ tj) + 4 - t t, t =
wenn ~r den Krümmungsradius der Kurve t im Punkt P1 bedeutet, und
p (t) =- sin t - t os t.
Die Diskussion dieser Gleichung führt zu folgendem Resultat: Nimmt die
Krümmung 1/rl von -- oo bis - oo beständig ab, so bewegt sich der Brennpunkt P' von P, ausgehend einmal in positivem Sinn um die ganze Kreisperipherie, woraus sich die auf p. 446 gegebene Erdmann'sche Ungleichung als
notwendige Bedingung des Extremums ergibt.
Die Möglichkeit der Weierstraß'schen Konstruktion ist für jede spezielle
Kurve S einzeln zu diskutieren. (KNESER)
30*. Gleichgewichtslage eines schweren Fadens, dessen erster Endpunkt auf
einer gegebenen Kurve St beweglich ist, wäahrend der zweite gegeben ist. Insbesondere
soll der Brennpunkt bestimmt werden (~ 59, d), ~ 65, ~ 39, b)).
Lösung: Die gesuchte Kurve ist eine Kettenlinie eo mit horizontaler
Direktrix, welche die gegebene Kurve senkrecht schneidet. Die Kongruenz (133).
laßt sich schreiben: ( + (
y= -() + ao(Cht-Chy),
z= oa(Sht -Shy),
wobei y durch die Gleichung
' (X) +- y () Sh = 0
als Funktion von % definiert ist.
Es bezeichne
) (t) = 2 - 2Ch(t - y) + (t - y)Sh (t- y).
Ferner sei Öl der Tangentenwinkel und 1/r1 die Krüimmung der Kurve S im
Punkt Pl; der positive Sinn auf der Kurve t werde so festgelegt, daß sin 0) > 0;
endlich sei ac der Wert der Konstanten a für die Kettenlinie eo. Dann lautet
die Gleichung zur Bestimmung des Brennpunktes Po' der Kurve S auf der Kettenlinie (o:t)
-(-t — l -+cos O.
() r, sin 0,