Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

538 Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel.
25. Einen homzogenein Rotationskörper von gegebener Masse und möglichst
kleinem Trägheitsmoment in Beziehung auf eine zur Rotationsachse senkrechte
Achse zu konstruieren (~ 65, a)).
Lösung: Ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, dessen Achsen sich verhalten
wie 1:]/\. Das Trägheitsmoment desselben in Beziehung auf einen in der
Äquatorebene gelegenen Durchmesser verhält sich zum Trägheitsmoment; einer
gleich großen Kugel in Beziehung auf einen Durchmesser wie /2 zu 4/3. Es
gelten ähnliche Bemerkungen wie bei den vorigen beiden Aufgaben. (CARLL)
26.1) Unter allen Kurven, welche von der Peripherie eines gegebenen
Kreises (O, ri) nach einem gegebenen Punkt P2 gezogen werden können, und für
welche das Potential des Sektors mit dem Scheitel 0 in Bezug auf den Punkt 0
einen vorgeschriebenen Wert hat, diejenige zu bestimmen, welche für das Potential des Bogens in Beziehung auf den Punkt 0 den kleinsten Wert liefert, wenn
für beide das Newton'sche Anziehungsgesetz zugrunde gelegt wird und die
Dichtigkeit als konstant vorausgesetzt wird (~ 65).
Lösung: Die gesuchte Kurve ist ein Kreis durch den Punkt 0. Die Kongruenz (133) läßt sich in Polarkoordinaten schreiben
ri COs (0 - ),
cos 7
-r, [sin (0 - s) - sin y]
cos y
Hiernach läßt sich die Frage des Brennpunktes und der Weierstraß'schen Konstruktion erledigen.
27. Für Beispiel XXII (p. 466) die Konstantenbestimmung im einzelnen
durchzuführen.
28. Für Beispiel XXII den Enveloppensatz von ~ 65, b) zu verifizieren.
(KNESER)
29*. Es sei eine Kurve g gegeben und auf ihr ein Punkt P2; unter allen
Kurven von gegebener Länge 1, welche von Punkten der Kurve S aus nach dem
Punkt P2 gezogen werden können, diejenige zu bestimmen, welche mit der Kurve Ü
den größten Flächenraum einschließt (~ 65)2).
Die Kurve t wird in der Form: y f(x) und von der Klasse D" vorausgesetzt. Dann läßt sich der fragliche Flächeninhalt in der Form darstellen
2
J — (x) -- y) x' dt.
tl
1) Unter allgemeineren Voraussetzungen in Beziehung auf das Anziehungsgesetz von HATON DE LA GOUPILLIERE gegeben, Association Frangaise, 1893,
2de partie, p. 164; übrigens sind die dort über die Jacobi sche Bedingung gegebenen Entwicklungen nicht richtig.
2) Vgl. Aufgabe 8 auf p. 446.