Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel. 537
Lösung: Die Extremiealen gehen aus den Kurven
t
x = a (t - sin t) - p cos 2 '
y (1 - cos t) - ß sin 2
durch die allgemeinste rechtwinklige Koordinatentransformation hervor.
(JELLET)
23. Unter allen Kurven, welche die beiden Geraden x = x und x- =x
verbinden und zusammen mit den beiden Ordinaten M P1, M2P2 ihrer Endpunkte und dem Stück MJ M der x-Achse eine Fläche von gegebenem Inhalt
einschließen, diejenige zu bestimmen, für welche der Schwerpunkt eben dieser
Fläche amz tiefsten liegt, unter der Voraussetzung, daß die positive y-Achse vertikal. nach oben gerichtet ist (~ 65, a)). (EULER)
Lösung: Eine horizontale Gerade. Da die Euler'sche Differentialgleichung
degeneriert, so läßt sich der allgemeine Hinlänglichkeitsbeweis nicht anwenden.
Man berechne daher direkt die totalen Variationen A J und A K und beweise
daraus, daß die Gerade (o ein schwaches Minimum liefert; auch ein starkes,
wenn man sich auf Vergleichskurven beschränkt, für welche A x 0; dagegen
kein starkes bei unbeschränkter Variation.
24. Die Aufgabe Nr. 40 auf p. 151 als isoperimetrisches Problem zu lösen
(~ 65, a)).
Lösung: Bei Benutzung von rechtwinkligen Koordinaten ist
x 2
= -2-(- f - - Zxdt, K x7y 'xdt.
t, t,
Die beiden Endpunkte sind auf der x-Achse beweglich.
Die Euler'sche Differentialgleichung degeneriert in eine endliche Gleichung
(~ 6, b)):
/ 4 2 \ _
y-= a3 x-x2 O<x<a.
Die Anziehung des zugehörigen Rotationskörpers verhält sich zu derjenigen einer
Kugel von gleichem Volumen wie "/27: V/25.
Man versuche einen Hinlänglichkeitsbeweis,1) wenigstens für gewisse Klassen
von Variationen, aus der zweiten Variation. (GAUss, AIRY)
Bei Benutzung von Polarkoordinaten mit der positiven x-Achse als Achse ist
t.- t
J- =2 t sin 0 cos 0 'dt, K == sin 0 0' dt.
tl tI
Die Lösung lautet: r2 = a2 cos 0. (LINDELÖF-MOIGNO)
1) Einen Hinlänglichkeitsbeweis ohne Benutzung der Variationsrechnung
gibt SCHELLBACH, Journal für Mathematik, Bd. XLI (1851), p. 343.