Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel. 535
17*. Unter allen Kurven von gegebener Länge, welche zwei gegebene Punkte
P1 und P2 der oberen Halbebene (y>0) verbinden, und ganz in dieser Halbebene liegen, diejenige zu bestimmen, welche zusammen mit den Ordinaten von
P1 und P2 den Rotationskörper größten Volumens erzeugt. (EULER)
Lösung: Die Extremalen sind elastische Kurven, charakterisiert durch:
1 2y
-= Bezeichnet a den konstanten Wert von 5I, so sind folgende zwei
r j.
Fälle zu unterscheiden:
Fall I: a+-<0.
x = P + Q[2E(x, t) - F(x, t)], y = 2 cos t, (138)
wobei
2 X-a ' =-2Q2.
Fall II: o+~ >0.
x = + Q [E(, t) - (1- ) F(, t), (139)
Y = A (n, t),
22~
-wobei
Dazwischen der Fall a +-. 0, in welchem die elliptischen Integrale degenerieren.
Die Gestalt der Extremalen zu diskutieren. Die Kongruenz räumlicher
Extremalen durch den Punkt P1 aufzustellen sowie deren Funktionaldeterminante,
wenigstens für spezielle Lagen des Punktes P1. Womöglich etwas über die
Existenz und Lage des konjugierten Punktes auszusagen.
18. Die Euler'sche Regel für den Fall abzuleiten, daß das Integral
x2
J --, y, 'y',..., y(n))dx
mit der Nebenbedingung
gx,y, y'...,y(n))dx =l
zu einem Extremum zu machen ist.
Andeutung: Vgl. p. 458, Fußnote 1) und Aufgabe Nr. 45 auf p. 153.
(EULER)
19. Die Euler'sche Regel für den Fall abzuleiten, daß das Integral
J == f(x, y, y22,..., Yn, yl, y2.., yn)dx
x1,mit mehreren isoperimetrischen Bedingungen
E2
gi(zx, y. Y",yyy- )dx =l i - =1, 2,... m
zu einem Extremum zu machen ist.