Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

532 Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel.
12. Die Aufgaben Nr. 2 und 3 im einzelnen durchzuführen für den Fall,
wo die gegebene Fläche eine Kugel und die gegebene Kurve ein größter Kreis
derselben ist (~ 59-65).1)
Lösung: Die geodätischen Kreise sind Kreise. Ist u das Komplement der
Breite und v die Länge, so lassen sich dieselben bei passender Wahl der Konstanten schreiben
cos y cos t +- sin 7 sin u cos (v - P) = cos a.
Ist 2v der Zentriwinkel des Kreisbogens von P, bis zum konjugierten, resp.
Brennpunkt, so ist r durch die folgenden Gleichungen zu bestimmen:
a) wenn P, gegeben ist
sinr (r cos - sin ) = 0;
b) wenn P, auf k beweglich ist
tg(2r) = 2,;
also in beiden Fällen dieselben Gleichungen wie in den entsprechenden ebenen
Problemen (Beispiel II und XXII).
Die Möglichkeit der Weierstraß'schen Konstruktion zu diskutieren.
13*. Die Aufgabe Nr. 5 für den speziellen Fall der Kugel im einzelnen
durchzuführen (Sphäirische Kettenlinie).2)
Andeutungen: Die Kugel werde dargestellt durch die Gleichungen
x = a cos u cosv, y == a cos sin v, z = a sinv.
Dann ist die sphärische Kettenlinie dargestellt durch die Gleichung
r aadz
v -- l - -. -- a
wo
R(z) = (z + Z)2 (a2- z2) - a"2
Die Größen z,x + iy durch die Funktionen c(t), f)(t) auszudrücken, wenn
dz
dt —
j/R (z)
Eingehende Diskussion der Realitätsverhältnisse der Wurzeln von R(z) und
entsprechende Fallunterscheidungen bei den elliptischen Funktionen. Diskussion
der Gestalt des Fadens. Wann wird derselbe ganz auf der oberen Hemisphäre
aufliegen, wann zum Teil frei herabhängen; im letzteren Fall Bestimmung der
Übergangspunkte. Die Gleichung zur Bestimmung des konjugierten Punktes
aufzustellen und zu diskutieren.
1) Das isoperimetrische Problem auf der Kugel ist neuerdings von BERNSTEIN
ohne Benutzung der Variationsrechnung eingehend behandelt worden, Mathematische Annalen Bd. LX (1905), p. 117.
2) Vgl. GUDERMANN, Crelle's Journal, Bd. XXXIII (1846), p. 189; CLEBSCH,
ibid., Bd. LVII (1860), p. 103; BIERZANN, Berliner Dissertation, 1865; SCHLEGEL,
Programm des Wilhelms-Gymnasiums, Berlin 1884; APPELL, Bulletin de
la Societ6 mathematique de France, Bd. XIII (1885), p. 65.