Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 65. Der Fall variabler Endpunkte. 527
rechten Segment beginnt. Daraus folgt dann wieder die Möglichkeit der
Weierstraß'schen Konstruktion und damit die Ungleichung A<J < 0).
d) Weitere Literatur über isoperimetrische Probleme:
Schon die letzten Entwicklungen haben gezeigt, daß die Theorie des isoperimetrischen Problems noch nicht zu einem ähnlichen Abschluß gelangt ist
wie die Theorie des Extremums ohne Nebenbedingungen. Dies gilt auch von
den Fragen, die wir für das letztere in Kapitel VI bis IX im einzelnen durchgeführt haben. Wir beschränken uns daher darauf, die wichtigsten hierher
gehörigen neueren Arbeiten zusammenzustellen:
Von diskontinuierlichen Lösungen2) bei isoperimetrischen Problemen handelt
CARATHEODORY in seiner auf p. 367, Fußnote 2) zitierten Dissertation. Insbesondere
wird der Ausnahmefall untersucht, in welchem jede Extremale des Integrals J
zugleich Extremale für das Integral K ist.
Für isoperimetrische Probleme mit Gebietseinschränkung gilt zunächst der
von WEIERsTRASS herrührende Satz, daß alle frei variierbaren Bestandteile der
Minimumskurve Extremalen mit demselben Wert 2o der isoperimetrischen Konstanten sein müssen. Ferner müssen, wie ebenfalls WEIERSTRASS 3) gezeigt hat, in
den Ubergangspunkten in der Bezeichnung von ~ 52, b) und ~ 60, b) die Bedingungen
(x,, Y; Ps q2;,8 q8; ^o) = 0, (x4, Y4; 4, q4; P4, q4; ^;) = ~
erfüllt sein. Andeutungen über die Bedingung entlang der Schranke gibt
HADAMARD,,Sur quelques questions de calcul des variations", Annales de l'i cole
Normale Superieure (3), Bd. XXIV, (1907), p. 222.
In derselben Arbeit beschäftigt sich HADAMARD mit der Aufgabe das
Hi 1ber t'sche Existenztheorem auf isoperimetrische Probleme zu übertragen. Dabei
ergeben sich eigentümliche Schwierigkeiten, die damit zusammenhängen, daß
in den Bedingungen von Legendre und Weierstraß die isoperimetrische
Konstante l2 auftritt. Hier ist schon der Satz von ~ 33 über die Existenz eines
Minimums im Kleinen nicht mehr richtig. Dagegen läßt sich der (Osgood'sche
Satz auf das isoperimetrische Problem übertragen, wie HAHN4) gezeigt hat.
An weiteren neueren Arbeiten erwähnen wir schließlich noch zwei Göttinger
Dissertationen: CaIRNS, "Die Anwendung der Integralgleichungen auf die zweite
Variation bei isoperimetrischen Problemen" (1907), und CRATHORNE, "Das riumliche isoperimetrische Problem" (1907).
1) Hierzu weiter die 'bungsaufgaben Nr. 11, b) und 26-35 am Ende dieses
Kapitels.
2) Vgl. ~ 59, b), Ende, und KN.ESEi, Lehrbuch ~~ 45, 46.
3) Vorlesungen 1879, vgl. auch HANCOCK, Lectures, Art. 205 und KNESER,
Lehrbuch ~ 47.. Der Beweis folgt leicht nach der Schlußweise von ~ 60, b);
vgl. dazu Fig. 84.
4) Vgl. p. 280, Fußnote 2).
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