Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 65. Der Fall variabler Endpunkte. 525
WTerden die Variabeln t, X, Z auf den Bereich
< t < < < + o, -, < o
beschränkt, so bildet die Kongruenz (134), (135) ein räumliches Feld, welches
den durch die Ungleichungen
r:, Z > 0, cosy < - <
definierten Teil des Raumes ausfüllt.
Zu einem gegebenen Punkt x, y, z von Öd' erhält man den zugehörigen Punkt
von aq, indem man zunächst die Gleichung
sin t -Y t -- 0
z
nach t auflöst; da die Funktion sint/t von + 1 bis cos beständig abnimmt,
wenn t von 0 bis y wächst, so hat diese Gleichung eine und nur eine Lösung
t zwischen 0 und y. Die Werte von 2 und % folgen dann aus (134).
Die x-Achse gehört nicht zu diesem Feld oÖ', wohl aber zu dessen Begrenzung. Daher läßt sich die Weierstraß/'sche Konstruktion durchführen und zwar
auf folgende Weise:
Fal I: 0 < a < 7.
Sei ( irgendeine von eo verschiedene Vergleichskurve; sie möge von einem
Punkt PS der x-Achse ausgehen. Wir setzen zunächst voraus, daß sie nicht mit
0~ 3_ 3
c 0 1 4 5 C o i 54
Fig. 115. Fig. 116.
einem zur x-Achse senkrechten geraden Segment beginnt (Fig. 115). Ist dann P3
ein Punkt von ( zwischen P5 und P., so ist die Länge des Bogens P5 P3 sicher
größer als y3, und y3 > 0, da ja die Kurve ( ganz in dem Winkelraum o verlaufen soll. Daher liegt der Punkt Zs, y3, in oÖ', da cos < 0; wir können
also nach P von der x-Achse aus einen und nur einen Kreisbogen P4 P konstruieren, welcher im Punkt P4 die x-Achse senkrecht schneidet, in positivem
Sinn beschrieben ist, dessen Zentriwinkel t8 zwischen 0 und y liegt, und dessen
Länge z3 gleich der Länge des Bogens P1 P3 der Kurve ( ist. Die Betrachtung
der Funktion: S(r) =- J43 + J2 führt nun zum Weierstraß'schen Fundamentalsatz und mit dessen Hilfe wie in ~ 64, a) zu dem Resultat: AJ< 0.
Der Beweis ist etwas zu modifizieren ), wenn die Kurve E mit einem zur
1) Vgl. hierzu KNESER, Lehrbtuch, p. 148.
Bol z a, Variationsrechnung. 34