Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 65. Der Fall variabler Endpunkte. 523
Daraus schließt man dann wieder wie in ~ 62, d), daß das isoperimetrische Extremum unter den vorliegenden Anfangsbedingungen
jedenfalls nicht über den Brennpunkt Po' hinaus bestehen kann:
P2 P(II)
c) Hinreichende Bedingungen:
Der allgemeine Hinlänglichkeitsbeweis für isoperimetrische Probleme
mit einem variabeln Endpunkt bietet noch ungelöste Schwierigkeiten.
Zwar folgt aus dem Bestehen derFormeln (92), daß auch die Hamilton'schen Formeln (106) mit ihren Folgerungen für jedes von der Kongruenz x =(t, x 1), y = (t, x, X ) z (t,x, ) (133)
gebildete räumliche Feld gültig bleiben.
Aber die Kurve ü kann nie einem solchen Felde angehören;
denn da die Funktionen gp, 4, i für t t1 identisch verschwinden, so
ist auch A (t,,;)=0.
Hierin besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen dem isoperimetrischen Problem und dem Problem ohne Nebenbedingungen (~ 41),
der zur Folge hat, daß man jetzt aus dem Bestehen der Bedingungen
(II') und (III') nicht mehr ohne weiteres schließen kann, daß sich
der Bogen o mit einem räumlichen Feld umgeben läßt. Vielmehr
führt das allgemeine Existenztheorem von ~ 22, d) hier nur zu einem
uneigentlichen räumlichen Feld, welches gegen den Punkt P1 zu in
eine Spitze ausläuft und daher für den Hinlänglichkeitsbeweis bei
variablem ersten Endpunkt nicht zu gebrauchen ist.
Wenn sich dagegen in einem speziellen Fall zeigen läßt, daß ein
den Punkt P, enthaltendes endliches Stück der Kurve S der Begrenzung eines den Bogen eo (abgesehen von seinem Anfangspunkt P1)
umgebenden räumlichen Feldes angehört, so läßt sich für alle Vergleichskurven (S, deren zugeordnete Raumkurven ~' (abgesehen von
ihren Anfangspunkten) ganz in diesem Feld verlaufen, die Weierstraß 'sche Konstruktion mit ihren Folgerungen durchführen.
Beispiel XXII.1) (Vgl. Beispiel II, pp. 465, 483 und Aufgabe Nr. 37 auf p. 151.)
Von dem einen Schenkel eines gegebenen Winkels nach einem auf dem andern
Schenkel gegebenen Punkt P, eine den WinkelraLum nicht verlassende Kurve von
gegebener Länge 1 zu ziehen, welche mit den beiden Schenkeln eine möglichst große
Fläche einschließt.
Der erste Schenkel werde zur positiven x-Achse gewählt; der fragliche
Winkelraum werde erzeugt, indem ein vom Koordinatenanfangspunkt 0 aus1) Vgl. dazu KNESER, Lehrbuch, p. 159.