Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

522 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Doppelschar (129) von deren Schnittpunkt =.= t1 mit der Kurve Si
bis zu einem variabeln Punkt P(t), und berechnen die partiellen Ableitungen der Funktionen Z und U. Auf Grund der Gleichungen (1303)
unterscheiden sich die Resultate, die man erhält, von den früheren
(75) und (91) nur dadurch, daß in den Ausdrücken für Z, U, je ein
Zusatzglied
-( ^ + ^ (~7I ') ISV, resp. - (5.,rp+ Fg>)
hinzutritt. Dieses Zusatzglied fällt aber in der Kombination
U+,x
infolge der Transversalitätsbedingung (131) weg, und daher bleiben,
die Formeln (92) auch für den Fall einer Doppelschar von Extremalen,
welche von der Kurve S transversal geschnitten werden, bestehen.
Andererseits aber hat das Auftreten dieses Zusatzgliedes zur Folge,
daß der Ausdruck (76) für die Funktionaldeterminante A (t, x, r) im
gegenwärtigen Fall nur dann richtig bleibt, wenn man jetzt unter in
die Größe t,n =f, tu dt + ( Xi(F, + (B) ~
versteht.
Mit dieser veränderten Bedeutung der Funktion nz bleiben nun
die Entwicklungen von ~ 62, c) und d) bestehen, und man erhält das
folgende Resultat:
\! ~' |Es sei t' die zunächst auf t1
P'F~- ^ ^ --- —'- |folgende Wurzel der Gleichung
\a (t, ( 2) = 0;
dann nennen wir den dem Wert
Q ^^^^^ "^ Jt = t' entsprechenden Punkt P'
p\"...___~ der Extremalen e0 den Brenn^., Fig. 114. punkt der Kurve R auf dieser
Extremalen.
Unter denselben beschränkenden Annahmen wie in ~ 62, c) kann
man dann aus der Doppelschar (129) von Extremalen ein ausgezeichnetes
Büschel herausgreifen, dessen Enveloppe 3 jede Extremale des Büschels
in dem auf ihr gelegenen Brennpunkt der Kurve & berührt.
Für dieses ausgezeichnete Büschel gilt dann der Enveloppensatz
in der folgenden Form
j '(PQ) J (P Q).+J+ (Q' "), (132)
K P,,(Q'") = K,(P' Q') + K(Q'Q).