Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 65. Der Fall variabler Endpunkte. 521
Wir stellen uns zunrähst die Aufgabe, durch einen dem Punkt P1
benachbarten Punkt P, der Kurve R eine Extremale e mit vorgegebenem, von;A nur wenig abweichendem Wert A der isoperimetrischen Konstanten zu konstruieren, welche in P3 von der Kurve S
transversal geschnitten wird. Ist 0 der Tangentenwinkel der gesuchten
Extremalen ( im Punkt P3 und x der Parameter von P, auf S, so
muß die Gleichung bestehen
-HH' ((^x), (X), cos, sin 0; A) '0 ) (128)
+ Hy. (x(z), y (X), cos 0, sin 0;;) y'(x) - 0.
Man zeigt genau wie in ~ 40, daß diese Gleichung stets in der Umgebung der Stelle x = x, =-= 2, 0 = 0t (unter 01 den Tangentenwinkel von eo in P, verstanden), eindeutig nach 0 auflösbar ist,
wenn die beiden Kurven @o und R sich in P1 nicht berühren, wie
wir in der Folge voraussetzen wollen.
Die Lösung der Gleichung (128) sei: 0 - (x, a); dann wird die
gesuchte Extremale ( in der Bezeichnung von ~ 27, b) durch die
Gleichungen dargestellt
x =- (t - t1; x(c), V(X), 0(K, 2l); ) = (t, x, ) (19)
y= (t - t; X(X), y(x), 60(, A); A) _- (t, Z, 2),
wenn unter t wieder die Bogenlänge verstanden wird.
Dieselben Gleichungen stellen, wenn x, A als variable Parameter
betrachtet werden, eine doppeltunendliche Schar von Extremalen dar,
welche sämtlich von der Kurve S transversal geschnitten werden, und
zwar tritt dies auf allen Extremalen der Doppelschar für denselben
Wert t = t, ein. Die Extremale @o erhält man für x -=, 2 =,.
Aus der Definition der Funktionen (p, t und den Eigenschaften
der Funktionen X, ) ergibt sich, daß, identisch in x, 1,
Sp(t1, x, 2) = X (), g(t1,, ) (X),
woraus durch Differentiation folgt
(130)
T (ti, 2) = Z (X), 'y (t, i) - - (),(10
^; (t, x,= A2) = 0,(, A )
Aus diesen Relationen folgt, daß wir die Transversalität der
Kurve S zur Extremalen E in der Bezeichnung (67) auch durch
folgende Gleichung ausdrücken können:
kXx, (tl,, 2A) %p, (t1, x, 2) + ä~y, (t1, X, 2) X (A, X, A)) = 0. (131)
Wir bezeichnen jetzt mit X (t, x,.), resp. U(t, x, A) die Werte
der Integrale K, resp. J, genommen entlang der Extremalen H, der