Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

520 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
stanten sei to. Der Punkt der Kurve A, von welchem die Extremale
eo ausgeht, sei P, und entspreche dem Wert x =- x. Wir setzen wie
in ~ 60 voraus, daß kein noch so kleiner Bogen von eo Extremale
für das Integral K ist.
Um weitere notwendige Bedingungen zu erhalten, hat man nun
zunächst eine einparametrige Schar von zulässigen Variationen
x x (t, E), y =y (t, E)
zu konstruieren, welche, abgesehen von Stetigkeitsbedingungen, die
folgenden Bedingungen erfüllt:
x(t o0) = x (t), y (t, 0) = (t),
X (tlE)= X (xo + &) Y (t) =- (o0 + ~), j (125)
(t2, )= x y (t2, ) =y22
K=. (126)
Eine solche Schar von zulässigen Variationen kann man leicht mit
Hilfe der in ~ 60,b) benutzten Methode herstellen.
Für diese Schar muß nun: 6 J 0 sein, während gleichzeitig
aus (126) folgt: dK = 0. Indem man beide Gleichungen kombinierte
erhält man J + K 0,
woraus man nach Anwendung der Lagrange'schen partiellen Integration wie in ~ 36, a) das Resultat') schließt:
Im Punkt P, muß die Relation
H -, (x, y, x' y'; o) X' + Hy, (x, y, x', y'; o) y1 i= 0 (127)
erfüllt sein, wobei sich die Ableitungen x', y' auf die Extremale eo, dagegen ', y' auf die gegebene Kurve ÜS beziehen.
Dies ist die Transversalitätsbedingung beim isoperimetrischen
Problem. Sie ist identisch mit der Transversalitätsbedingung für die
Aufgabe, das Integral (43) mit denselben Endbedingungen, aber ohne
Nebenbedingung zu einem Extremum zu machen.2)
b) Die Brennpunktsbedingung:
Wir setzen für die Folge die Transversalitätsbedingung (127)
als erfüllt voraus; weiter nehmen wir an, daß entlang dem Extremalenbogen eo die Bedingung (II') von ~ 60, a) erfüllt ist.
Dann lassen sich nach KNESER3) die Entwicklungen von ~ 62
folgendermaßen auf den gegenwärtigen Fall übertragen:
1) Vgl. hierzu KNESER, Lehrbuch, ~ 33.
2) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 3, 23-25 am Ende dieses Kapitels.
3) Lehrbuch, ~ 39.