Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

518 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Für das Integral
~(F +- o G) dt
tJ
sind die Voraussetzungen des Lindeberg'schen Satzes erfüllt, wobei
wieder ~o an die Stelle der Kurve ( tritt. Daher können wir eine
positive Größe Q < QQ bestimmen derart, daß
JE + 0o KC > JeO + 40 Ke (124)
für jede gewöhnliche, von P1 nach P2 gezogene Kurve (, welche ganz
in (9))o verläuft, und für welche
dz (') > E.
Wir ziehen jetzt in dieser Umgebung (0))o von P] nach P2
irgend eine im Sinn des isoperimetrischen Problems zulässige Kurve Z.
Für dieselbe ist entweder
d, (E) < E;
dann liegt nach dem Hilfssatz die Raumkuive ~' in ( u')do, und es
ist A J> 0 auf Grund des Weierstraß'schen Satzes.
Oder aber es ist d ( >
aä (^'s)> ~;
dann ist A J> 0 auf Grund des Lindeberg'schen Satzes, da hier
insbesondere
J\. === J e0
Wir gelangen also zu dem Schlußresultat1):
Wenn fiür den Kurvenbogen eo die Bedingungen ('), (Ii'), (III'),
(IV') erfüllt sind, so liefert derselbe ein eigentliches starkes Minimum
fiür das Integral J mit der Nebenzbedingung K = 1.
1) Der entsprechende Satz für das x-Problem, der das Analogon des auf
p. 126 erwähnten Satzes über das Problem ohne Nebenbedingungen ist, lautet
folgendermaßen:
Es sei eo: y = (x) eine Extremale für das Problem, das Integral
X2
J= f(x, y, y') dx
x,.
zu einem Minimum zu machen in Beziehung auf die Gesamtheit aller in der
Form y = y(x) darstellbaren Kurven der Klasse C', welche von P1 nach P2
fihren, in einem gewissen Bereich ~ liegen und dem Integral
K=- g j(x, y, y') dx
~i