Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 64. Hinreichende Bedingungen. 517
für jede von P1 nach P2 führende, ganz in der Umgebung (Q)! gelegene
gewöhnliche Kurve G, fir welche
dd (E<) >E
Der Beweis beruht darauf; daß das erste Integral auf der rechten
Seite von (121) bei fortgesetzter Verkleinerung der Größen 6 und k
für alle Kurven ( von der angegebenen Beschaffenheit infolge der
Voraussetzung C) oberhalb einer bestimmten positiven Grenze bleibt,
während gleichzeitig durch Verkleinerung von a der absolute Wert des
zweiten Integrals unter jede Grenze herabgedrückt werden kann.
Die Bedeutung dieses Satzes für das Extremum ohne Nebenbedingung besteht darin, daß derselbe den Anteil feststellt, welchen
die Bedingungen von Legendre und Weierstraß, für sich genommen, am Zustandekommen des Extremums haben. Dieser Anteil
ist überraschend groß; die beiden genannten Bedingungen verbürgen
in der Tat das Bestehen der Ungleichung A J> 0, für alle benachbarten Kurven mit Ausnahme gerade derjenigen, welche sich, wie wir
es kurz ausdrücken können, in ihrer Tangentenrichtung am engsten
an die Curve ( anschließen. Nur um auch für diese letzteren die
Ungleichung AJ> 0 zu erzwingen, sind die Bedingungen von Euler
und Jacob i erforderlich.
d) Anwendung des Lindeberg'schen Satzes auf das isoperimetrische Problem:
Wir nehmen jetzt an, für die Kurve (o seien die unter b) aufgezählten Bedingungen (I'), (II'), (III'), (IV') erfüllt. Dann läßt sich,
wie unter b) gezeigt worden ist, eine positive Größe Q' angeben, so daß:
JC > Jao für jede von ~( verschiedene, im Sinn des isoperimetrischen
Problems zulässige Kurve (, deren zugeordnete Raumkurve @' ganz
in der Umgebung Q' der räumlichen Extremalen 0o liegt.
Lindeberg beweist dann weiter den folgenden Hilfssatz:
Ist Q' eine beliebig vorgegebene positive Größe, so lassen sich
drei positive Größen o,, e' angeben, derart, daß die Raumkurve L'
ganz in die Umgebung (Q') von @o fällt für jede zulässige Kurve ~,
welche ganz in der Umgebung (9Q) von (o liegt, und für welche
dd (E') E
wobei bei der Definition des Symbols da (e') die Extremale eo an die
Stelle der Kurve ( tritt.
Und nunmehr wird folgendermaßen weiter geschlossen: