Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 6. Bemerkungen zur Integration der Euler'schen Differentialgleichung. 39
M _ (cP((x=, y, (y'), 9t (x, Y, Y))
O(x, Sp(x,, y, y', 9(x, y, y'))
wo ~D eine willkürliche Funktion von cp und tp bedeutet.
Nachdem M gefunden ist, erhält man f durch zwei sukzessive
Quadraturen aus der Gleichung
ay - M(x, y, y'),
wobei zwei, noch von x und y abhängige Integrationskonstanten;t, u
eingeführt werden. Schließlich müssen die letzteren noch so bestimmt
werden, daß f der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung (53)
genügt, aus welcher (54) durch Differentiation abgeleitet war.
Wir können das erhaltene Resultat auch dahin aussprechen, daß
jede Differentialgleichung zweiter Ordnung (auf unendlich viele Arten)
als Eul er'sche Differentialgleichung eines Problems der Variationsrechnung
von dem einfachsten hier betrachteten Typus aufgefaßt werden kann.1)
Beispiel ): Alle Funktionen f zu bestimmen, für welche die Extremalen
gerade Linien sind:
y == x +
Die Differentialgleichung (52) wird in diesem Fall
y 0.
Wir erhalten daher
G- -0, -y', -=y-xy
und daraus
M=-@(y, y-xy)
und weiterhin
y'
f== -(y- t) O(t, y - xt)dt + y'%(x, y) + 1(x, y).
0
Die Bedingung für X und /t wird in diesem Fall
ax ay
der allgemeinste Ausdruck für X und p ist daher
cv av
wo v eine willkürliche Funktion von x und y ist.8)
1) Dies findet nicht mehr statt bei der entsprechenden Aufgabe für den
allgemeineren Typus, wo f höhere Ableitungen enthält; vgl. darüber HIRSCH,
Mathematische Annalen, Bd. XLIX (1897), p. 49 und KASNER, Bulletin of
the Am. Math. Soc., Bd. XIII (1907), p. 289.
2) Vgl. DARBOUX, loc. cit. Nr. 606.
s) Die analoge Aufgabe für den Fall, wo die Extremalen Kreise sind, deren
Mittelpunkte auf der x- Achse liegen, hat STROMQUIST gelöst (Transactions of
the American Mathematical Society, Bd. 7 (1906), p. 175).