Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 64. Hinreichende Bedingungen. 515
c) Der Lindeberg'sche Satz:
Wir wenden uns nun zu dem im Eingang dieses Paragraphen
erwähnten Satz, mit dessen Hilfe es LINDEBERG gelungen ist, die
eben hervorgehobene Lücke auszufüllen. Derselbe bezieht sich auf
das Extremum des Integrals
J= F(x, y, x, y')dt
ohne iNebenbedingungen, und ist auch unabhängig von seiner Anwendung auf das isoperimetrische Problem von Interesse. Bei der Darstellung desselben müssen wir uns jedoch auf einen kurzen Bericht
beschränken und verweisen für die Detailausführung auf die oben
zitierte Arbeit von Lindeberg.
Es sei
(: x xx(t), y y (t), t t t
eine von P1 nach P2 führende Kurve, über welche wir die folgenden
Voraussetzungen machen:
A) Die Kurve ( ist von der Klasse C", hat keine mehrfachen
Punkte und liegt ganz im Innern des Bereiches 92.
B) Es gilt für sie die Legendre'sche Bedingung in der stärkeren
Form (II').
C) Es gilt für sie die Weierstraß'sche Bedingung in der
stärkeren Form (IV') von ~ 32, b).
Wir heben ausdrücklich hervor, daß die Kurve ( zwar eine Extremale für das Integral J sein kann, aber nicht zu sein braucht.
Wir können dann die Kurve ( stets so über das Intervall [tt,2]
hinaus auf ein weiteres Intervall [T1 T2] fortsetzen, daß die Bedingungen A), B), C) auch für den so erweiterten Bogen (* erfüllt sind.
Es folgt dann zunächst aus den beiden ersten Bedingungen auf
Grund der Sätze von ~ 21, b) und ~ 27, a): Ist 6 eine hinreichend
kleine positive Größe, so kann man durch jeden Punkt P(t) der
Kurve (* eine und nur eine Extremale des Integrals J ziehen, welche
mit der positiven Tangente der Kurve (* im Punkt P den konstanten
Winkel a bildet. Als Parameter möge auf der Extremalen die Bogenlänge s, gemessen vom Punkt P aus, gewählt werden.
Mit Hilfe des Satzes von ~ 22, d) zeigt man dann weiter: Es
lassen sich zwei positive Größen h, k so klein wählen, daß die so
erhaltene Extremalenschar ein den Bogen (E in seinem Innern enthaltendes Feld eo bildet, wenn s und t auf den Bereich
Isl k, t - h< t t2 + h
beschränkt werden.