Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

512 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Bei Beschränkung auf den Bereich
a > 0, t > x
bildet dieselbe ein räumliches Feld, welches den durch die Ungleichungen (116)
und x > x. definierten Teil des Raumes ausfüllt. Die der Kurve ( zugeordnete
Raumkurve g' liegt ganz in diesem Feld.
Ferner findet man
8 (x3,,y.; pS,,; P,,; q) == (y, +,) [1 -- cos (o, -- 0)].
Da
y +2. =a1 3 Cht,>O0,
und da kein konjugierter Punkt vorhanden ist, so schließt man wie beim vorigen
Beispiel, daß
d. h. Bei der Kettenlinie go liegt der Schwerpunkt tiefer als bei jeder andern gewöhnlichen Kurve von derselben Länge, welche von P, nach P, gezogen werden kann. 1)
b) Folgerungen aus dem Weierstraß'schen Fundamentalsatz:
Wir wollen nun zusehen, wie weit sich der Weierstraß'sche
Fundamentalsatz zur Aufstellung von hinreichenden Bedingungen beim
allgemeinen isoperimetrischen Problem verwerten läßt. Wir machen
dabei über den Bogen (o die analogen Voraussetzungen wie in
~ 32, b), nämlich:
1. Der Bogen ~o genügt der Euler'schen Differentialgleichung (I)
mit einem bestimmten Wert AX der isoperimetrischen Konstante; er
führt von P1 nach P2 und erteilt dem Integral K den vorgeschriebenen
Wert 1; endlich ist er von der Klasse C', besitzt keine mehrfachen
Punkte und liegt ganz im Innern des Bereiches 9l. (I')
2. Es ist:H,(X (t), y (t), x' (t), y (t);:) > 0 für t, =t t t,. (II)
3. Der Bogen (o enthält den zu P1 (im Sinne des isoperimetrischen Problems) konjugierten Punkt P[ nicht:
Pz<P;. (III )
4. Es ist
8 ((tx), Y(t); ~'(t), y'(t); cos, sino; o) > 0 (IV')
für t t i t, und für jede Richtung 0, die von der Richtung der
positiven Tangente an ~o im Punkt t verschieden ist.
Es fragt sich, ob diese Bedingungen für ein Minimum des Integrals J mit der Nebenbedingung K = 1 hinreichend sind.
Zunächst folgt nach ~ 61, d), Ende, aus den ersten drei Voraus1) WzEIERTRAss, Vorlesungen 1879; vgl. auch KNESER, Lehrbuch, p. 142
Hierzu weiter die Übungsaufgaben Nr. 10, 11, 12, 15 am Ende dieses Kapitels.