Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

510 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
a) Erledigung der beiden Beispiele:
Unsere beiden Beispiele II und XXI gehören gerade zu denjenigen, bei welchen der Weierstraß'sche Satz ausreicht, um die
Existenz eines starken Extremums (und zwar sogar eines absoluten)
nachzuweisen.
Beispiel II (Siehe pp. 465, 483, 494, 498).
Wir betrachten neben dem Kreisbogen (o eine beliebige von P] nach P5
führende gewöhnliche Kurve E von der vorgeschriebenen Länge 2 1. Wir nehmen
dann auf der Fortsetzung des Kreisbogens eo über P1 hinaus einen Punkt PO
o/ \ 0 an, der nur der einen Bedingung unter3j^^^^ ^\ worfen ist, nicht auf ( zu liegen.
Ist dann P, irgend ein Punkt von (,
K \ 3 so ist P3 von Po verschieden, und die
Summe z, der Länge des Bogens POP1
von \? plus der Länge des Bogens P1 P3
von VG ist sicher größer als der Abstand
2\ / Ii i P1 o 3
z, > /(x, - Xo)2 + (Y -y O)2\ > 0. (115)
Fig. 112. 0 Daher geht nach den Resultaten der in
~ 59, c) gegebenen Konstantenbestimmung von PO nach Ps ein und nur ein
Kreisbogen s, dessen Länge gleich der eben genannten Bogensumme z, ist:
Ko = K o l + K1s- z8,
und welcher überdies weniger als einen vollen Kreisumfang beträgt und in
positivem Sinne durchlaufen wird.
Oder anders ausgedrückt: Die Kongruenz von räumlichen Extremalen durch
den Punkt Po, welche nach (80) durch die Gleichungen
x - = -2 2 cos (r +-) sin r,
y - =-2 2 sin (z +- x) sin z,
z= -= 22
dargestellt wird, bildet, wenn die Größen r, x, X auf den Bereich
0<o<7, 0< x < 2r, 1<0
beschränkt werden, ein räumliches Feld JS', welches den durch die Ungleichung
> (x - o)2 +- (y - yo) 2\ o (116)
definierten Teil des Raumes ausfüllt, und die der Kurve ( zugeordnete Raumkurve (' liegt ganz in diesem Feld oY'.
Daher gilt für die Kurve ( der Weierstraß'sche Satz (110). Ferner ist in
leichtverständlicher Bezeichnung
(x, y,; p3, q; 8; Z ) = [1 C — cos (0 -- )].