Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 64. Hinreichende Bedingungen. 509
Nennt man die Flächen
W(x, y, z) konst.
die Transversalenfäcchen des räumlichen Feldes, so folgt aus (112),
daß das filbert'sche Integral J*, genommen zwischen zwei Punkten
derselben Transversalenfläche, stets gleich Null ist.
Aus (113) ergibt sich nun genau wie in ~ 17, c) ein zweiter
Beweis des Weierstraß'schen Fundamentalsatzes. Denn da die
beiden Kurven S' und (o in eo' liegen und dieselben Endpunkte
haben, so folgt
==o == o == ^ 4
und daher
A J=-j( Js n (114)
woraus sich sofort die Gleichung (110) ergibt.
~ 64. Hinreichende Bedingungen beim isoperimetrischen Problem.
Die Frage der hinreichenden Bedingungen liegt beim isoperimetrischen Problem viel weniger einfach als bei dem Problem ohne
Nebenbedingungen. Zwar reicht bei manchen Beispielen der Weierstraß'sche Fundamentalsatz aus, um die Existenz eines starken
Extremlums zu beweisen. Dagegen genügt dieser Satz nicht, um allgemein zu beweisen, daß die den Bedingungen ('), (II'), (III'), (IV')
von ~ 32, b) entsprechenden Bedingungen für ein starkes Minimum
hinreichen; er gestattet vielmehr nur zu zeigen, daß, falls diese Bedingungen erfüllt sind, A J> 0 für alle diejenigen Vergleichskurven
in einer gewissen Umgebung des Bogens o0, für welche die Weierstraß'sche Konstruktion möglich ist. Das ist aber eine nicht in der
Natur der ursprünglichen Aufgabe gelegene, künstliche Beschränkung
der Vergleichskurven.
Die hiernach nötige Ergänzung der Weierstraß'schen Theorie
ist vor kurzem von LINDEBERG1) gegeben worden mit Hilfe eines
Satzes über Extrema ohne Nebenbedingungen, welcher zusammen
mit dem Weierstraß'schen Fundamentalsatz zu dem Schlußresultat
führt, daß auch im Fall des isoperimetrischen Problems die oben genannten vier Bedingungen für ein starkes Extremum hinreichend sind.
1) In einer demnächst in den Mathematischen Annalen erscheinenden
Arbeit l Über einige Fragen der Variationsrechnung", deren Manuskript mir
Herr LINDEBERG gütigst zur Verfügung gestellt hat.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 3 3