Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 63. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 507
P3 von d; läßt sich von Po aus eine und nur eine ebene Extremale $.
ziehen, für welche
Ko~= KXo + K,. (109)
Man pflegt diese Annahme auch dadurch auszudrücken, daß man sagt:
Fiir die Kurve ( soll die Weierstraß'sche Konstruktion möglich sein.
Jetzt betrachten wir mit Weierstraß das Integral J, genommen
von PO entlang der Extremalen (3 bis zum. Punkt P3 und von da
entlang ( bis P2; wir bezeichnen dasselbe als Funktion von r mit
S(r), so daß also
S(t) Jo3+ J32.
Es ist dann insbesondere
S(r) = J + JJ12 S(r2) = J2= Jo01+ J122
also
AJ- - Jeo=- [S(r2) - S(,1)], oder
12
AJ= - rdS(t)
J drv
Nun ist aber nach (109) und nach der Definition der Funktion W:
JO = W(x (), y (r), (),
Dae kn F(x, y )dt.
Daher kann man nach (106) den Ausdruck für die Ableitung S'(s)
unmittelbar hinschreiben; derselbe vereinfacht sich, wenn man aus.
(108) den Wert von z' einführt:
z'= G(x,y,x',Y'),
und man erhält in der Bezeichnung von ~ 60, b) den Weierstraß'schen
Fundamentalsatz für isoperimetrische Probleme1)
AJ- (, y; p, q; x', y'; )dr. (110)
1
Dabei ist
P p(x, y, z), q - q(, y, ~), t - (, y, Z),
1) WEIERSTRASS, Vorlesungen 1879; Weierstraß benutzt die Kongruenz.
von räumlichen Extremalen durch den Punkt P1, vgl. p. 259, Fußnote S). Die
hier gegebene Modifikation, bei welcher der Punkt PO an Stelle von P, tritt,
rührt von KNESER her, Lehrbuch, ~~ 36 und 38.