Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

38 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Es soll eine Funktion f(x, y, y') bestimmt werden, derart, daß das
gegebene System von Kurven das System der Extremalen für das Integral
X2
J- f(fx, y, y') dx
bildet.
DARBOUX') hat gezeigt, daß dies Problem stets unendlich viele
Lösungen besitzt, welche durch Quadraturen erhalten werden können.
Denn wenn
y"= G(x, y, y') (52)
die durch Elimination2) von a, ß zwischen den drei Gleichungen
y = g(x, a, ß), y'= -g(x,, a, A y = gX(x, a, ß)
zu erhaltende Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, deren allgemeine Lösung die gegebene Funktion: y = g(x, a, ß) ist (mit a, ß
als Integrationskonstanten), so handelt es sich darum, die Funktion
f(x, y, y') so zu bestimmen, daß (52) mit der aus f abgeleiteten
E uler'schen Differentialgleichung identisch wird, also nach (37) so, daß
fy - -f,- yf = Gfy, (53)
für alle x, y, y'.
Differentiiert man jetzt (53) nach y', so erhält man für die
Funktion M=1= fy, eine lineare partielle Differentialgleichung erster
Ordnung, nämlich
B +ei+ ey n +( GM A ~O (54)
Bezeichnen
a= p(x, y, y'), = (x, y, y')
die Lösung der beiden Gleichungen
y = g(x, a, ß), y' = g(x, a, )
nach a und ß, und setzt man ferner
f(Xo.c) ffGy- Y'(X,9(Xc( ) gx(z, a, l3))dx
O(x, a, f ) e= e,
so findet man nach der allgemeinen Theorie3) der linearen partiellen
Differentialgleichungen erster Ordnung für das allgemeine Integral von
(54) den Ausdruck
1) Theorie des surfaces, Bd. III, Nr. 604, 605.
2) Vgl. z. B. JORDAN, Cours d'Analyse, I, Nr. 166.
3) Vgl. z. B. JORDAN, Cours d'Analyse, III, Nr. 242.