Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 63. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 505
wenn wir durch die Klammer () andeuten, daß t, x, X durch t, f, t zu
ersetzen sind.
Multipliziert man jetzt die Gleichungen (104) der Reihe nach
mit t, f, 1. und berücksichtigt die durch Differentiation der Identitäten (102) sich ergebenden Gleichungen
(i)t) t+ (Tpx) + (9p2) f 1,
(4t)tx+ (4' )t + (4;)J x 0,
(zt) t+ (X,)X+ (xz)= 0,
so erhält man
Wx= (x,)
und ganz analog
Ty (y,), 4+ 1= 0.
Nun sind aber die rechten Seiten der beiden ersten Gleichungen
nach der Bedeutung des Zeichens i;C und der Klammer gleich den
Funktionen Hx H1,, mit den folgenden Werten ihrer fünf Argumente
x, y, x' y'; t:
(p), (,), (Pt) (~a); I.
Die ersten beiden sind nach (102) identisch gleich x und y; das
dritte und vierte dürfen wir wegen der Homogeneität von H -,,,
ersetzen durch die Funktionen
p(x, y, z) = /(9,(t),, q(x, y, ) = (+ (105)
Y t /t/ i \vt/ y \'vt/ 1 \~t/
Daher erhalten wir schließlich für die partiellen Ableitungen des Feldintegrals die folgenden Werte:
dW = 1 (, P,; I) s A 2
~W
Darin bedeuten die Funktionen p- _p (x, y, x), q= q(x, y,,) die Richtungskosinus der positiven Tangente der Extremalen (3 im Punkt P3,
und t == l(x, y,,) ist der zur Extremalen (, gehörige Wert Ä3 der
isoperimetrischen Konistanten.
Diese Formeln sind das Analogon der Hamilton'schen Formeln
(148) von ~ 31 für das isoperimetrische Problem.