Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 501
also, wenn wir von (75) Gebrauch machen und uns der Definition der
die Enveloppe 7 darstellenden Funktionen x(a), y(a) erinnern,
K'(c) [- [, '+ [> yD'-' ([11 ^ + L] ').
Nun genügen aber die Funktionen i(a), t(a) für das ausgezeichnete
Extremalenbüschel der Differentialgleichung (90), also ist
K'(a) = Leh jt' + [(,,]1'* (93)
Ganz in derselben Weise folgt aus (92)
J'(a) + (a)K(~) = [X ]' + [(YQ]Y,
und hieraus unter Benutzung von (93), da
[..] = [f] m+ 2[C],
J(.)= [9x]x' -+ [I,] '. (94)
Wir unterscheiden jetzt, wie in ~ 47, zwei Fälle:
Fall I: Die Enveloppe ~ degeneriert nicht in einen Punkt.
Dann können wir nach (87) eine nicht identisch verschwindende
Funktion (cc) bestimmen, so daß
Z/ -= [P, y t']
Wir wollen annehmen daß (0)+ 0, daß also die Enveloppe a im
Punkte Pr keinen singulären Punkt besitzt. Wir dürfen dann ohne
Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, daß Q (a) > 0, d. h.
daß die Enveloppe und die Extremale sich im Punkt PE gleichsinnig
berühren, da wir andernfalls zuvor den positiven Sinn auf der Enveloppe durch die Substitution c' =- a umkehren könnten. Nunmehr
folgt ganz wie in ~ 44, c)
J' (a) F(x, ~, ', Y') K' (o)= G(x, y, x', y') (95)
Integrieren wir diese Gleichung von "O
bis zu einem hinreichend nahen Wert a,
so erhalten wir den von KNESER1) her-
rührenden Enveloppensatz fiir isoperimetrische Probleme:
J +J(PP3) + Jü(P3P) =ie-(PiP ), (96) -
Ka (P,P,)+ K (P 'P) =Ke (P,P).
Die zweite dieser Gleichungen zeigt, Fig.109.
daß der aus dem Bogen P,1P von
und dein Bogen P3P von g zusammengesetzte Kurvenzug eine zulässige Variation des Extremalenbogens P1P[ ist. Daher folgt jetzt
1) Vgl. KNESER, Lehbbu&h, ~ 40.