Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 6. Bemerkungen zur Integration der Euler'schen Differentialgleichung. 37
Beispiel:
f - 3xy2 + 2x3yy.
Hier ist:
fy == 6xy + 2xy', fy, = 2x3y,
also
d
Umgekehrt: Wenn das Integral J, denselbenWert hat fir alle zulässigen
Kurven S, welche durch P, und P2 gehen, und welche im Innern
eines einfach zusammenhängenden Bereiches eS liegen, (der in dem in
~ 3, a) eingeführten Bereich R. enthalten ist), dann muß die Euler'sche
Differentialgleichung identisch erfüllt sein
y d fy, = O.
Denn sei (x(, y-) irgend ein innerer Punkt von j, dessen Abszisse xd
zwischen x1 und x2 liegt und seien yo und yo' zwei willkürlich vorgeschriebene endliche Werte. Dann können wir stets im Innern von
S eine zulässige Kurve (s: y y(x) von der Klasse C" konstruieren,
welche durch die Punkte (x, yO), (x2, y2) und (x0, yo) hindurchgeht und
für welche y'(xO) = yo, y"(xo) =- y' ist. Variieren wir diese Kurve ÖS,
so muß nach unserer Annahme AJ =0 sein für jede zulässige Variation, insbesondere also für Variationen der speziellen Form (19), also
unter Benutzung der Bezeichnung von ~ 4, c)
J(E) - J(O)
für alle hinreichend kleinen EI.
Also muß sein: J'(E) 0, insbesondere J'(O) 0, woraus nach
~~ 4 und 5 folgt, daß y(x) der Euler'schen Differentialgleichung genügen muß. Die linke Seite derselben muß also für das willkürliche
Wertsystem x = x, y y0 y' = —, y = yo, also identisch verschwinden 1).
c) Das inverse Problem der Variationsrechnung:2)
Wir betrachten schließlich noch kurz das folgende inverse Problem:
Es sei gegeben eine doppelt unendliche Schar von Kurven (Funktionen)
__ y g(xa, p).
1) Wegen der Verallgemeinerung des Satzes vgl. Ubungsaufgabe Nr. 46
am Ende von Kap. III.
2) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 15-16 am Ende von Kap. III.