Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

496 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme.
Die zugehörige Schale der Brennfläche ist also ein senkrechter Kreiskegel mit der
Geraden x = x, y = y als Achse. Man verifiziert leicht, daß jede Kurve der
Kongruenz (80) in der Tat diesen Kegel in dem fraglichen räumlichen konjugierten Punkt berührt.
c) Das ausgezeichnete Extremalenbüschel durch den Punkt P1:
Wir machen für die folgende Diskussion die beschränkende
Annahme, daß b(t2 ) +. (83)
zxi(to, 3o, Zo) =+ o. (s3)
Dann läßt sich nach dem Satz über implizite Funktionen die Gleichung
(t x,, ) = o
in der Umgebung der Stelle t[, zo, 20 eindeutig nach t auflösen. Die
Lösung sei: t = t'(x, 2), so daß also, identisch in X, 2,
A(t' (, 2), K, A2) = 0 (84)
und überdies,. (
t'( o, to)= I:' (85)
Wir greifen jetzt aus der doppelt unendlichen Extremalenschar
(64) ein Büschel heraus, welches die Extremale (o enthält, d. h. wir
ersetzen x, 2 durch zwei Funktionen eines Parameters a: x =- (a),
-= 2 (a), welche für einen bestimmten Wert aO der Bedingung
%= - (aOo), 2y A (ao ) genügen. Die Funktionen ( (a), (a) sollen
überdies in der Umgebung von ac von der Klasse C' sein und die
Ableitungen ~'(xo), 2'(ao) sollen nicht beide gleich Null sein. Auf
jeder Kurve des so erhaltenen Extremalenbüschels
x = P(t,, i), y = (t, K,) (86)
markieren wir den durch den Parameterwert
t = t'(K, A) t(a)
definierten konjugierten Punkt. Der geometrische Ort j dieser konjugierten Punkte ist dann die durch die Gleichungen
x x- (t X, A) — a), y = (t, e, i) _ (a)
dargestellte Kurve. Wir stellen uns jetzt mit KNESER die Aufgabe,
das Extremalenbüschel so auszuwählen, daß jede Kurve des Büschels
in ihrem konjugierten Punkt t = t(a) die Kurve ~ berührt, oder,
anders ausgedrückt, so, daß der geometrische Ort der konjugierten
Punkte der Büschelkurven zugleich die Enveloppe des Büschels ist.
Dazu ist notwendig und hinreichend, daß es eine Funktion 9
von a gibt, so daß, identisch in a,
x'(a)= Q [pid, ~'(a) =Q [ta], l (87)