Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 495
Die Kongruenz räumlicher Extremalen ist also hier ein doppelt unendliches
System von Schraubenlinien mit der Neigung 45~.
Führen wir statt t und tl die für unsere Zwecke bequemeren Größen
t-t'
t - Öl - - X
2 2
ein, so erhalten wir die Kongruenz in der Form
x - x = - 2 Acos ( -+- x) sin, }
y-y = — 2 1sin (T + - ) sinr, (80)
z= - 2r, J
wobei nunmehr auf allen Kreisen der Doppelschar der Punkt P1 demselben
Wert v = 0 entspricht, während x dieselbe Bedeutung hat wie in der Normalform (64), siehe Fig. 108.
Aus diesen Gleichungen ergibt sich in
Übereinstimmung mit (57) und (74) P
A(r, x, A) = 8 2 sin (sinr -r cosv). (81)
Jede der unendlich vielen Wurzeln der Gleichung
A= 0 liefert einen konjugierten Punkt im -
weiteren Sinn; und jedem derselben entspricht
eine Schale der Brennfläche, die aber auch degenerieren kann.
Letzteres tritt nun gleich bei dem konjugierten Punkt im engeren Sinn ein, für
welchen r = -r; die zugehörige Schale der
Brennfläche degeneriert in die Gerade Fig. 108.
X:= x, Y - Yi
welche von allen Kurven der Kongruenz (80) geschnitten wird.
Wir wollen noch den nächsten konjugierten Punkt betrachten, welcher der
im dritten Quadranten gelegenen Wurzel1)
257 27' 12"
7 360 0 00' 00 2
der Gleichung
tgt ==
entspricht. Hier wird die Brennfläche gegeben durch die Gleichungen
x - x -- - 2 cos (y 4- +) sin y,
y -y —i - 2 A sin (y -t ) sin y, (82)
Z = —27,
mit X, X als Flächenparametern; daraus ergibt sich durch Elimination von x und
sin2 z_ 0
(x — xl?+ - yi? 2 z2=0- O.
1) Nach ERDMANN, Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. XXIII
(1878), p. 372.
32*