Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 62. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 493
Setzt man diese Werte in die Determinante A ein, so folgt nach
einfachen Determinantensätzen
A (t, X, A) =- Il - 1z, (76)
wobei
tl t
Für x = X 2= 0 geht aber die rechte Seite von (76) nach (71),
abgesehen von einem konstanten Faktor, in m v- nu über, womit nach
(52) unsere Behauptung bewiesen ist.
Aus bekannten Eigenschaften der Funktionaldeterminante folgt,
daß der Satz (74), sowie die weiter unten folgenden geometrischen
Anwendungen, von der speziellen Normalform, in welcher wir die
Doppelschar (64) angenommen haben, unabhängig sind.1)
Wir bezeichnen jetzt den dem Wert t = t entsprechenden Punkt
von o, dessen Projektion also der Punkt P, ist, mit Q[ und nennen
ihn den räumlichen konjugierten Punkt. Für denselben ergibt sich
nunmehr aus der allgemeinen Theorie der Kongruenzen von Raumkurven eine einfache geometrische Deutung.
Ersetzt man in (73) x und 2 durch Funktionen eines neuen
Parameters: X = (a)),
welche für einen gewissen Wert c = a die Werte Zo, o annehmen,
so gehen die Gleichungen (73) in eine einparametrige, in der Kongruenz (73) enthaltene Kurvenschar ("Kurvenbüschel")
X (t^i y z(t ^ X(t,,) (78)
über, welche die Kurve eo enthält, oder anders ausgedrückt, in eine,Fläche der Kongruenz (73)", welche durch die Kurve (o hindurchgeht.
Konstruiert man dann in einem beliebigen Punkt Q von (S
die Tangentialebene an die Fläche (78), so wird dieselbe im allgemeinen
von der Wahl der Funktionen i (a), a(cc) abhängen. Dagegen hat der
Punkt Q; die Eigentümlichkeit, daß alle Flächen der Kongruenz,
welche durch o hindurchgehen, im Pznkt Q[ dieselbe Tangentialebene
besitzen (oder aber sämtlich einen singulären Punkt in Q[ haben).
Dies ist aber die definierende Eigenschaft2) des "Brennpunktes" der
Kongruenz (73). Das ergibt den Satz:
Der räumliche konjugierte Punkt Q[ ist ein Brennpunkt der Kongruenz (73) auf der räumlichen Extremalen eo und zwar der zunächst
auf P1 folgende.
1) Vgl. p. 490, Fußnote 1). 2) Vgl. DARBOUX, loc. cit., p. 4.
B o z a, Variationsrechnung. 32